Badanie Liniowej niezależności

[strykul]

Witajcie.
Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu takiego problemu matematycznego. Mam zbadać liniową niezależność 4 wektorów w przestrzeni trójwymiarowej. Problem jest dla mnie o tyle nietypowy, ze nie spotkałem się jeszcze nigdy jak dotąd z podobnym zapisem:
\(\displaystyle{ v_{1}\left( x\right)= 1-x^{2}}\)
\(\displaystyle{ v_{2}\left( x\right)=1+x^{3}}\)
\(\displaystyle{ v_{3}\left( x\right)=x-x^{3}}\)
\(\displaystyle{ v_{4}\left( x\right)=1+x+x^{2}+x^{3}}\)

Z góry bardzo serdecznie dziękuję za odpowiedzi, być może jest to banalne, ale moje otępienie wakacjami sięga zenitu i coś trzeba z tym robić

[szw1710]

Przestrzeń wielomianów stopnia nie większego niż 3 jest czterowymiarowa!!!

Aby sprawdzić liniową niezależność, musisz napisać kombinację liniową tych czterech wielomianów i przyrównać do zera. Następnie wyodrębniając współczynniki przy kolejnych potęgach dojdziesz do układu równań. Jeśli jedynym jego rozwiązaniem będą same zera, wskazane wielomiany są liniowo niezależne. Jeśli będą też inne rozwiązania - będą liniowo zależne.

[strykul]

Zapis od nauczyciela wygląda tak:
(...) w przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ R_{3}\left[ x\right]}\)
Czy to nie jest jednoznaczne z przestrzenią trójwymiarową?

[szw1710]

Ile współczynników ma wielomian stopnia nie większego niż 3?

[strykul]

Cztery lub mniej

[szw1710]

Świetnie. A więc każdy taki wielomian można utożsamić z wektorem współczynników:

\(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d\leftrightarrow(a,b,c,d)}\)

Iluwymiarowa jest więc ta przestrzeń?

[strykul]

Aa Łapię, dzięki... czyli ta trójka była dla zmyły, a właściwie dla określenia stopnia wielomianu

Pozdrawiam i dziękuję

[szw1710]

Nie ma sprawy. A wracając do pierwszego posta w wątku, w przestrzeni trójwymiarowej każde cztery wektory są liniowo zależne, bo baza jest trzyelementowa, a więc każdy "czwarty" wektor musi się wyrażać jako kombinacja liniowa trzech pierwszych.