Generatory przestrzeni liniowej

patricia__88 · Post autor: **patricia__88** » 2 sie 2012, o 13:45

Mam pytanie odnoście generatorów przestrzeni. Czy jeśli mamy daną przestrzeń i podane w niej 2 wektory, to wektory te generują tą przestrzeń jeżeli są liniowo niezależne?

A jeśli mamy podane 3 wektory i tylko 2 z nich są liniowo niezależne, to tylko te 2 wektory generują przestrzeń, czy wszystkie 3?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 2 sie 2012, o 15:20

Zależy od wymiaru tej przestrzeni.

patricia__88 · Post autor: **patricia__88** » 2 sie 2012, o 16:47

No dobrze, w takim razie jak wyznaczamy generatory? Generatorami są tylko te wektory które są liniowo niezależne?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 3 sie 2012, o 07:00

Generatorami mogą być dowolne wektory.

patricia__88 · Post autor: **patricia__88** » 3 sie 2012, o 10:20

No nie dowolne, bo muszą być liniowo niezależne.

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 3 sie 2012, o 10:55

Nie muszą

patricia__88 · Post autor: **patricia__88** » 3 sie 2012, o 10:57

Jak to nie muszą? Możesz podać jakiś przykład generatorów przestrzeni, które nie są liniowo niezależne?

smigol · Post autor: **smigol** » 3 sie 2012, o 11:35

Przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\); wektory \(\displaystyle{ (0,1),(1,0),(1410,1410)}\) generują tę przestrzeń.

patricia__88 · Post autor: **patricia__88** » 3 sie 2012, o 11:58

No dobrze, ale przecież wektory, które podałeś są liniowo niezależne.

luka52 · Post autor: **luka52** » 3 sie 2012, o 12:10

patricia__88, 3 wektory w 2 wymiarowej przestrzeni są liniowo niezależne?

patricia__88 · Post autor: **patricia__88** » 3 sie 2012, o 12:17

A nie są? Przecież są dwie zmienne, więc wektorów może być chyba dowolna ilość? A jeśli nie, to jak to sprawdzić, że podane wektory jednak są liniowo zależne?

smigol · Post autor: **smigol** » 3 sie 2012, o 12:36

Próbowałbym z definicji liniowej niezależności.

patricia__88 · Post autor: **patricia__88** » 3 sie 2012, o 12:51

No dobrze, więc
\(\displaystyle{ \begin{cases}y=0\\x=0\\1410x+1410y=0\end{cases}}\)
A z tego wynika, że \(\displaystyle{ x=0, \ y=0}\)
Wiec wektory te są liniowo niezależne

luka52 · Post autor: **luka52** » 3 sie 2012, o 12:54

patricia__88, co to ma niby być?

patricia__88 · Post autor: **patricia__88** » 3 sie 2012, o 13:17

No tak wektor \(\displaystyle{ [1410,1410]=1410[0,1]+1410[1,0]}\) zatem nie są liniowo niezależne, ale przecież chyba 3 wektory nie mogą generować dwuwymiarowej przestrzeni.