Generatory przestrzeni liniowej

[miodzio1988]

Spróbuj za pomocą tych trzech wektorów wygenerować dowolny wektor ze swojej przestrzeni.

[smigol]

chyba 3 wektory nie mogą generować dwuwymiarowej przestrzeni.

A dwa wektory mogą?

[patricia__88]

No tak mogą.

[miodzio1988]

To rozumiemy, że się wszystko wyjaśniło?

[Marmat]

Dyskusja jaką toczycie jest cokolwiek dziwna.
Wystarczy sięgnąć do definicji mówiącej o tym kiedy układ wektorów generuje przestrzeń.
Układ wektorów \(\displaystyle{ x_1,x_2,..., x_n}\) generuje przestrzeń X wtedy i tylko wtedy gdy:
dlam każdego\(\displaystyle{ x \in X}\) istnieją takie liczby \(\displaystyle{ \alpha _1, \alpha _2, ..., \alpha _n}\), że: \(\displaystyle{ x= \alpha _1x_1+ \alpha _2x_2+ ...+ \alpha _nx_n}\).
Czyli, że każdy wektor przestrzeni X można przedstawić za pomocą kombinacji tych wektorów.
Liniowa niezależność nie jest tu potrzebna.
Jeśli te wektory są liniowo zależne to znaczy, że z układu generującego można usunąć część wektorów.
Jeśli układ wektorów generujących jest liniowo niezależny to stanowi bazę przestrzeni.
Baza to minimalny układ generujący i równocześnie maksymalny układ wektorów liniowo niezależnych.
Pozdrawiam.