wymiar przestrzeni

[alfa123]

Jaki jest wymiar przestrzeni wszystkich macierzy antysymetrycznych?

[Lorek]

Przydałaby się jeszcze informacja o stopniu macierzy. Zauważ, że do wyznaczenia macierzy antysymetrycznej wystarczy wyznaczyć jej elementy pod przekątną (ew. nad przekątną).

[alfa123]

Rzeczywiście, ich liczba zgadza się z wymiarem. Ale skąd wynika taka teza, że wymiarem jest liczba elementów pod (nad) główną przekątną?-- 22 lip 2012, o 23:14 --Jesteśmy w przestrzeni nad skończonym ciałem \(\displaystyle{ K_{q}}\), gdzie \(\displaystyle{ q}\)-potęga liczby pierwszej.

[Lorek]

Hm ja domyślnie założyłem, że wszystko dzieje się w \(\displaystyle{ \RR\quad}\) czy ewentualnie \(\displaystyle{ \CC}\). Możesz podać dokładną treść zadania?

[alfa123]

Wyznacz wymiar przestrzeni liniowej złożonej z wszystkich macierzy antysymetrycznych stopnia \(\displaystyle{ n}\) nad ciałem skończonym \(\displaystyle{ K_{q}}\).

[norwimaj]

Łatwo można wskazać bazę (zbiór macierzy liniowo niezależnych, generujący całą podprzestrzeń). Dla \(\displaystyle{ n=3}\) bazą jest

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&-1&0\end{bmatrix}.}\)

Hm ja domyślnie założyłem, że wszystko dzieje się w \(\displaystyle{ \RR\quad}\) czy ewentualnie \(\displaystyle{ \CC}\).

Korzystałeś gdzieś z tego?-- 23 lip 2012, o 00:19 --A, faktycznie. Nad ciałem charakterystyki \(\displaystyle{ 2}\) wymiar będzie inny.

[alfa123]

Zakładajmy, że ciało \(\displaystyle{ K_{q}}\) jest charakterystyki różnej od 2.

[norwimaj]

Ale to też jest łatwe. Dla ciała charakterystyki \(\displaystyle{ 2}\) wymiar jest równy liczbie elementów pod przekątną i na przekątnej.

[alfa123]

No właśnie, ale dlaczego tak? Jakim argumentem to poprzeć?-- 23 lip 2012, o 18:00 --Dlaczego wymiar jest równy liczbie elementów pod (lub) nad przekątną? (dla charakterystyki \(\displaystyle{ \neq 2}\))

[norwimaj]

Już napisałem wyżej. Wystarczy wskazać bazę (i udowodnić że jest to baza).

[alfa123]

A czy może być taka baza (dla \(\displaystyle{ n=3}\) nad ciałem \(\displaystyle{ K_{2}}\)) :

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&1\\1&1&0\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&1\\0&1&0\end{bmatrix},
\begin{bmatrix}0&1&1\\1&0&0\\1&0&0\end{bmatrix}}\)?

[norwimaj]

Nie, bo nie generuje całej podprzestrzeni. Dla tego ciała (i pozostałych ciał charakterystyki \(\displaystyle{ 2}\)) dla \(\displaystyle{ n=3}\) wymiar jest równy \(\displaystyle{ 6}\).

Poza tym podane przez Ciebie macierze nie są liniowo niezależne. Jak je wszystkie dodasz, to otrzymasz zero. Tych wcześniejszych nie trzeba było zmieniać, tylko trzeba dopisać więcej, żeby wygenerować całą podprzestrzeń.

[alfa123]

Dla \(\displaystyle{ n=3}\) i ciała \(\displaystyle{ K_{2}=\{0, 1\}}\) wymiar jest równy 3.

Ale chodzi mi o wymiar dla przestrzeni wszystkich macierzy antysymetrycznych stopnia \(\displaystyle{ n}\).

[norwimaj]

Dla \(\displaystyle{ n=3}\) i ciała \(\displaystyle{ K_{2}=\{0, 1\}}\) wymiar jest równy 3.

Jest równy \(\displaystyle{ 6}\). Zauważ że dla ciał charakterystyki \(\displaystyle{ 2}\) w macierzy antysymetrycznej na przekątnej może stać cokolwiek.

[alfa123]

Zgadza się, dla ciał charakterystyki \(\displaystyle{ 2}\). Ale, jak już było napisane, chodzi mi o ciała o charakterystyce różnej od \(\displaystyle{ 2}\).-- 24 lip 2012, o 16:32 --Czy macierze nad ciałem \(\displaystyle{ K_2}\) o charakterystyce \(\displaystyle{ \neq 2}\)
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&1\\-1&-1&0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&1\\0&-1&0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0&1&1\\-1&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}}\)

są liniowo niezależne?
Mamy
\(\displaystyle{ a \cdot \begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&1\\-1&-1&0\end{bmatrix}+
b \cdot \begin{bmatrix}0&1&0\\-1&0&1\\0&-1&0\end{bmatrix}+
c \cdot \begin{bmatrix}0&1&1\\-1&0&0\\-1&0&0\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\).
Zatem
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a+c=0\\b+c=0\\a+b=0 \end{array}}\),
skąd
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} a=0\\b=0\\c=0 \end{array}}\).
Oznacza to, że są.
Czy to jest prawda?