Rozszerzenie iloczynu skalarnego na dowolne tensory

[nowheredense_man]

Niech \(\displaystyle{ V}\)będzie przestrzenią wektorową z iloczynem skalarnym, niech \(\displaystyle{ T_{p}^{q}(V)}\) iloczyn tensorowy kilku egzemplarzy przestrzeni \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ V^{*}}\). W jaki sposób zdefiniować iloczyn skalarny w przestrzeni \(\displaystyle{ T_{p}^{q}(V)}\) wykorzystując iloczyn skalarny z przestrzeni \(\displaystyle{ V}\)?

[Spektralny]

Czy \(\displaystyle{ V}\) jest skończenie wymiarowa? Jeżeli tak, możesz utożsamić \(\displaystyle{ V}\) z \(\displaystyle{ V^*}\) poprzez odwzorowanie \(\displaystyle{ \varphi\colon V\to V^*}\) dane wzorem

\(\displaystyle{ \varphi(v) = \langle \cdot, v\rangle.}\)

[nowheredense_man]

Czy \(\displaystyle{ V}\) jest skończenie wymiarowa? Jeżeli tak, możesz utożsamić \(\displaystyle{ V}\) z \(\displaystyle{ V^*}\) poprzez odwzorowanie \(\displaystyle{ \varphi\colon V\to V^*}\) dane wzorem

\(\displaystyle{ \varphi(v) = \langle \cdot, v\rangle.}\)

OK, tak poradze sobie z jednoformami (widziałem to), ale co z tensorami wyższych rzędów? które mają zarówno składowe kowariantne jak i kontrawariantne?