Podprzestrzeń przestrzeni liniowej

[patricia__88]

Jak udowodnić, że każda podprzestrzeń przestrzeni liniowej jest przestrzenią liniową?

[Spektralny]

Z definicji.

[patricia__88]

Niech \(\displaystyle{ (X,K,+,\cdot)}\) będzie przestrzenią liniową. Niepusty podzbiór \(\displaystyle{ Y \subseteq X}\) nazywamy podprzestrzenią przestrzeni liniowej \(\displaystyle{ X}\), jeżeli:
1. \(\displaystyle{ \forall_{u,v\in{Y}} \ u+v\in{Y}}\)
2. \(\displaystyle{ \forall_{\alpha \in{K}} \ \forall_{v\in{Y}} \ \alpha \cdot v \in{Y}}\)

Jak udowodnić to z definicji?

[Spektralny]

Zadaj sobie pytanie co to jest przestrzeń liniowa i dlaczego wszystkie jej aksjomaty są spełnione w \(\displaystyle{ Y}\).

[patricia__88]

A mogę prosić o proste wytłumaczenie, dlaczego?-- 6 lip 2012, o 20:02 --Znalazłam również definicję, w której pisze, że podzbiór \(\displaystyle{ Y}\) jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej X, jeżeli jest przestrzenią liniową i jeśli spełnia podane wyżej warunki. Chyba ta definicja jest poprawna tak? Wówczas to wynika bezpośrednio z definicji.

[norwimaj]

Znalazłam również definicję, w której pisze, że podzbiór \(\displaystyle{ Y}\) jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej X, jeżeli jest przestrzenią liniową i jeśli spełnia podane wyżej warunki. Chyba ta definicja jest poprawna tak? Wówczas to wynika bezpośrednio z definicji.

Zadanie nie polega na znalezieniu innej definicji (chyba że udowodnisz równoważność obu definicji). Musisz, korzystając z definicji podprzestrzeni, wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ Y}\) jest podprzestrzenią, to jest przestrzenią liniową. Musisz wykazać, że \(\displaystyle{ Y}\) spełnia mnóstwo warunków, które są w definicji przestrzeni liniowej.

[patricia__88]

Ok a mogę prosić o pomoc w udowodnieniu tego, albo chociaż udowodnienie kilku tych warunków?

[norwimaj]

Że \(\displaystyle{ K}\) jest ciałem, to wiadomo.

Że \(\displaystyle{ +}\) jest działaniem \(\displaystyle{ Y\times Y \to Y}\), to wiadomo, bo \(\displaystyle{ \forall_{u,v\in{Y}} \ u+v\in{Y}}\).

Że \(\displaystyle{ \cdot}\) jest działaniem \(\displaystyle{ K\times Y \to Y}\), to wiadomo, bo \(\displaystyle{ \forall_{\alpha \in{K}} \ \forall_{v\in{Y}} \ \alpha \cdot v \in{Y}}\).

Warunek \(\displaystyle{ \forall_{\alpha\in{K}}\forall_{u,v\in{Y}} \ \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v}\) jest spełniony, bo \(\displaystyle{ u,v\in Y\subseteq X}\) a przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest liniowa i spełnia warunek \(\displaystyle{ \forall_{\alpha\in{K}}\forall_{u,v\in{X}} \ \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v}\).

itd.

[patricia__88]

No ale skoro \(\displaystyle{ Y \subseteq X}\) to chyba każdy warunek z tego powodu będzie spełniony?

[Spektralny]

Rozważ \(\displaystyle{ Y=\mathbb{N}}\) w \(\displaystyle{ X=\mathbb{R}}\).

[patricia__88]

no naturalne zawierają się w rzeczywistych przeciez.
Nie możecie poprostu krok po kroku wytłumaczyc?

[norwimaj]

A z jakim punktem jeszcze masz kłopot?

[patricia__88]

No ale skoro \(\displaystyle{ Y \subseteq X}\) to chyba każdy warunek z tego powodu będzie spełniony?

Tak jak napisałam, czy dlatego, że \(\displaystyle{ Y \subseteq X}\), a \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią liniową, to wynika że wszystke te warunki będą spełnione i \(\displaystyle{ Y}\) jest przestrzenią? Bo tak z przedstawienia Twoich warunków wynika

[norwimaj]

Przecież korzystałem też z warunków:
1. \(\displaystyle{ \forall_{u,v\in{Y}} \ u+v\in{Y},}\)
2. \(\displaystyle{ \forall_{\alpha \in{K}} \ \forall_{v\in{Y}} \ \alpha \cdot v \in{Y}.}\)

Tylko z tego że \(\displaystyle{ Y\subseteq X}\) oraz \(\displaystyle{ X}\) jest przestrzenią liniową, nie wynika że \(\displaystyle{ Y}\) jest przestrzenią liniową, o czym świadczy podany wcześniej przykład.

Masz rację że pozostałe warunki się dowodzi analogicznie jak ostatni z podanych przeze mnie, chyba że chcesz dowodzić takie głupie warunki:

\(\displaystyle{ \exists_{0\in Y}\forall_{u\in Y}0+u=u}\),

\(\displaystyle{ \forall_{u\in Y}\exists_{v\in Y}u+v=0}\).

Ich nie można pokazać tak samo, bo występuje tam kwantyfikator szczegółowy.

[patricia__88]

A jak właśnie udowodnić element neutralny i odwrotny?