Przestrzeń liniowa

[patricia__88]

Czy mogę prosić o kilka prostych przykładów przestrzeni liniowych i dowody?

[smigol]

Tak.

[patricia__88]

Tak.

No to może podasz??-- 5 lip 2012, o 21:05 --Mógłby ktoś sprawdzić warunki na przestrzen liniową, oprócz grupy abelowej, dla \(\displaystyle{ \left(R^3,R,+,\cdot\right)}\)

[smigol]

Przykłady:
przestrzeń wielomianów.
zbiór wektorów \(\displaystyle{ (x,y,z,t) \in \mathbb{R}^4}\) takich, że \(\displaystyle{ x+y+z=0}\).
przestrzeń funkcji ciągłych.
\(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\)

Twierdzenia: sprecyzuj o co ci chodzi.


Edit: z esztą nie wiem po co ja to wypisuję, chyba mam zbyt dobry humor. Wszystko masz w większosci podręczników do algebry liniowej, że o guglach nie wspomnę.

[patricia__88]

Czy mógłby ktoś sprawdzić poniższe warunki dla \(\displaystyle{ \left(R^3,+,\cdot \right)}\)

1. \(\displaystyle{ \forall_{\alpha\in{K}}\forall_{u,v\in{V}} \ \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v}\)
\(\displaystyle{ \alpha((x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2))=\alpha(x_z+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)=\\ =\alpha(x_1+x_2),\alpha(y_1+y_2),\alpha(z_1+z_2)=\alpha x_1+\alpha x_2,\alpha y_1+\alpha y_2,\alpha z_1+\alpha z_2=\\=\alpha(x_1,y_1,z_1)+\alpha(x_2,y_2,z_2)}\)
2. \(\displaystyle{ \forall_{\alpha ,\beta \in{K}}\forall_{v\in{V}} \ v(\alpha+\beta)=\alpha v+\beta v}\)
\(\displaystyle{ (x,y,z)(\alpha+\beta)=\alpha x+\beta x,\alpha y+\beta y,\alpha z+\beta z=\alpha(x,y,z)+\beta(x,y,z)}\)
3. \(\displaystyle{ \forall_{\alpha ,\beta \in{K}}\forall_{v\in{V}} \ v(\alpha \beta)=(v\alpha)\beta}\)
\(\displaystyle{ (x,y,z)(\alpha \beta)=x(\alpha \beta),y(\alpha \beta),z(\alpha \beta)=(x\alpha)\beta,(y\alpha)\beta,(z\alpha)\beta}\)
4. \(\displaystyle{ 1\cdot v=v}\)
\(\displaystyle{ 1(x,y,z)=(1\cdot x,1\cdot y,1\cdot z)=(x,y,z)}\)-- 5 lip 2012, o 22:37 --Może ktoś sprawdzić, czy dobrze te przejścia zrobiłam?

[smigol]

OK. W paru miejscach brakuje nawiasów.

[patricia__88]

A jak to będzie wyglądało w przypadku np. \(\displaystyle{ (R[x],R,+,\cdot)}\), gdzie \(\displaystyle{ R[x]}\) jest zbiorem wielomianów?

[smigol]

Tak samo - suma wielomianów jest wielomianem itd.

[patricia__88]

Ok, ale jaki wielomian podstawiamy? Możemy sobie np wziąść \(\displaystyle{ 2x^2+5x^3}\)?

[octahedron]

Wielomian ma postać ogólną
\(\displaystyle{ W_n(x)=\sum_{k=0}^na_kx^k}\)

[patricia__88]

No tak, ale gdy chcemy sprawdziż warunki przestrzeni liniowej, to chyba musi być jakiś konkretny wielomian podany?
Możesz w takim razie zdefiniować dodawanie oraz mnożenie przez skalar takiego wielomianu?

-- 6 lip 2012, o 13:25 --

Czy to będzie tak:
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^na_kx^k+\sum_{k=0}^nb_kx^k=\sum_{k=0}^{n}(a_k+b_k)x^k}\)
A czy suma nie powinna byc od \(\displaystyle{ k=1}\)?

-- 6 lip 2012, o 13:27 --

\(\displaystyle{ \alpha \sum_{k=0}^na_kx^k=\sum_{k=0}^{n}(\alpha a_k)x^k}\)

-- 6 lip 2012, o 13:42 --

1). Sprawdzamy czy jest to grupa abelowa:
\(\displaystyle{ \left(\sum_{k=0}^{n}a_kx^k+\sum_{k=0}^{n}b_kx^k\right)+\sum_{k=0}^{n}c_kx^k=\left(\sum_{k=0}^{n}(a_k+b_k)x^k\right)+\sum_{k=0}^{n}c_kx^k=\\=\sum_{k=0}^{n}(a_k+b_k+c_k)x^k=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k+\left(\sum_{k=0}^{n}(b_k+c_k)x^k\right)=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k+\left(\sum_{k=0}^{n}b_kx^k+\sum_{k=0}^{n}c_kx^k\right)}\)
- działanie jest łączne
2). elementem neutralnym jest wektor \(\displaystyle{ 0}\)
\(\displaystyle{ 0+\sum_{k=0}^{n}a_kx^k=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k+0=\sum_{k=0}^{n}a_kx^k}\)
3). element przeciwny to \(\displaystyle{ -\sum_{k=0}^{n}a_kx^k}\), bo \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}a_kx^k+\left(-\sum_{k=0}^{n}a_kx^k\right)=\left(-\sum_{k=0}^{n}a_kx^k\right)\sum_{k=0}^{n}a_kx^k=0}\)
4). z przemienności dodawania wynika przemienność działania wewnętrznego "+", zatem jest to grupa abelowa

-- 6 lip 2012, o 13:58 --

5). \(\displaystyle{ \forall_{\alpha\in{K}}\forall_{u,v\in{V}} \ \alpha(u+v)=\alpha u+\alpha v}\)
\(\displaystyle{ \alpha \left(\sum_{k=0}^na_kx^k+\sum_{k=0}^nb_kx^k\right)=\alpha \left(\sum_{k=0}^{n}(a_k+b_k)x^k\right)=\sum_{k=0}^{n}\alpha (a_k+b_k)x^k=\\=\sum_{k=0}^{n}(\alpha a_k+\alpha b_k)x^k=\sum_{k=0}^{n} \alpha a_kx^k+\sum_{k=0}^{n} \alpha b_kx^k=\alpha \sum_{k=0}^{n}a_kx^k+\alpha \sum_{k=0}^{n}b_kx^k}\)
6). \(\displaystyle{ \forall_{\alpha ,\beta \in{K}}\forall_{v\in{V}} \ v(\alpha+\beta)=\alpha v+\beta v}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^na_kx^k(\alpha+\beta)=\sum_{k=0}^{n}(\alpha +\beta)a_kx^k=\sum_{k=0}^{n}(\alpha a_k+\beta a_k)x^k=\sum_{k=0}^{n}\alpha a_kx^k+\sum_{k=0}^{n}\beta a_k^k=\alpha \sum_{k=0}^{n}a_kx^k+\beta \sum_{k=0}^na_kx^k}\)
7). \(\displaystyle{ \forall_{\alpha ,\beta \in{K}}\forall_{v\in{V}} \ v(\alpha \beta)=(v\alpha)\beta}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^na_kx^k(\alpha \beta)=\sum_{k=0}^{n}(\alpha \beta)a_kx^k=\beta \sum_{k=0}^{n}\alpha a_kx^k}\)
8). \(\displaystyle{ 1\cdot v=v}\)
\(\displaystyle{ 1\cdot \sum_{k=0}^na_kx^k=\sum_{k=0}^{n}(1\cdot a_k)x^k=\sum_{k=0}^na_kx^k}\)

-- 6 lip 2012, o 13:59 --

Może ktoś sprawdzić, czy dobrze zrobiłam te przejścia?-- 6 lip 2012, o 14:19 --Mogę również prosić o jakiś kontrprzykład z wytłumaczeniem dlaczego nie jest to przestrzeń liniowa?

[smigol]

Sumowanie powinno być od zera, wyrazy wolne w wielomianach też istnieją, trzeba się z tym pogodzić.

Dobrze, tylko parę błędów w zapisie w LaTeX-u. No i nie wiem jak bardzo dokładnie musisz to robić, jeśli bardzo dokładnie to parę przejść jest za szybkich.

No to wykombinuj jakąś przestrzeń, w której nie jest spełniony któryś z tych warunków.

[patricia__88]

A możesz wskazać, które przejścia są za szybkie?

[smigol]

Napisałem, że jest ich (przejść) więcej niż jedno, ale teraz widzę jedno - punkt siódmy.

[patricia__88]

\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^na_kx^k(\alpha \beta)=\sum_{k=0}^{n}(\alpha \beta)a_kx^k=\sum_{k=0}^{n}\alpha \beta a_kx^k=\sum_{k=0}^{n}\beta (\alpha a_k)x^k=\beta \sum_{k=0}^{n}\alpha a_kx^k}\)
Czy teraz jest już dobrze?-- 6 lip 2012, o 15:06 --A co do kontrprzykładu, to nie mam pomysłu. Masz może jakiś?