Przestrzeń liniowa

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

Przestrzeń liniowa

Post autor: smigol »

Skoro rozwiązania jednorodnego układu równań liniowych tworzą przestrzeń liniową, to może warto byłoby pokombinować z rozwiązaniami niejednorodnego układu równań liniowych?
Ostatnio zmieniony 6 lip 2012, o 14:11 przez smigol, łącznie zmieniany 1 raz.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Przestrzeń liniowa

Post autor: norwimaj »

Zapis \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^na_kx^k(\alpha \beta)}\) oznacza (na ogół) \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n\left(a_kx^k(\alpha \beta)\right)}\) a nie \(\displaystyle{ \left(\sum_{k=0}^na_kx^k\right)(\alpha \beta)}\). Wygodniej jest tu pisać mnożenie lewostronne przez skalary. Konkretnie w punkcie siódmym masz pokazać, że

\(\displaystyle{ (\alpha \beta)\sum_{k=0}^na_kx^k=\alpha \left(\beta\sum_{k=0}^na_kx^k\right).}\)
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

Przestrzeń liniowa

Post autor: patricia__88 »

\(\displaystyle{ (\alpha \beta)\sum_{k=0}^{n}a_kx^k=\sum_{k=0}^{n}\left(a_kx^k(\alpha \beta)\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(\alpha \beta a_kx^k\right)=\sum_{k=0}^{n}\left(\alpha a_kx^k\right)\beta=\beta \left(\sum_{k=0}^{n}\alpha a_kx^k\right)=\beta \left(\alpha \sum_{k=0}^{n}a_kx^k\right)}\)

Czy teraz jest dobrze?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Przestrzeń liniowa

Post autor: norwimaj »

Teraz jest dobrze.
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

Przestrzeń liniowa

Post autor: patricia__88 »

Ok dzieki. A może Ty norwimaj znasz jakiś przykład przestrzeni, która nie jest liniowa? Lub zbior, który nie jest przestrzenią liniową
Awatar użytkownika
smigol
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3454
Rejestracja: 20 paź 2007, o 23:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 89 razy
Pomógł: 353 razy

Przestrzeń liniowa

Post autor: smigol »

Napisałem z czym możesz kombinować. Gdzie widzisz problem?
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

Przestrzeń liniowa

Post autor: patricia__88 »

Nie za wiele mi to mówi co napisałeś. A skoro znasz taki przykład, to nie możesz po prostu napisać, skoro ja nie wiem?-- 6 lip 2012, o 16:01 --Wiem, że np \(\displaystyle{ (R,+,\cdot)}\) nad ciałem liczb zepsolonych, nie jest przestrzenią liniową, jednak nie wiem jak to udowodnić.
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Przestrzeń liniowa

Post autor: norwimaj »

- Zbiór liczb wymiernych z działaniami \(\displaystyle{ +,\cdot}\) nie jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych.
- Zbiór wielomianów \(\displaystyle{ p\in\mathbb{R}[x]}\) takich, że \(\displaystyle{ p(\sqrt2)\ne0}\), z działaniami określonymi w sposób naturalny, nie jest przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\)
- Zbiór liter, które tu napisałem, z jakkolwiek określonymi działaniami, nie jest przestrzenią liniową nad ciałem \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\).-- 6 lip 2012, o 15:09 --
patricia__88 pisze: Wiem, że np \(\displaystyle{ (R,+,\cdot)}\) nad ciałem liczb zepsolonych, nie jest przestrzenią liniową, jednak nie wiem jak to udowodnić.
Czy działanie \(\displaystyle{ \cdot}\) jest typu \(\displaystyle{ \mathbb{C}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\)?
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

Przestrzeń liniowa

Post autor: patricia__88 »

norwimaj pisze:- Zbiór liczb wymiernych z działaniami \(\displaystyle{ +,\cdot}\) nie jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych.
A w tym przypadku, np. który warunek nie zachodzi i dlaczego?
norwimaj pisze: Czy działanie \(\displaystyle{ \cdot}\) jest typu \(\displaystyle{ \mathbb{C}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\)?
Tak
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Przestrzeń liniowa

Post autor: norwimaj »

\(\displaystyle{ i\in\mathbb{C}, 1\in\mathbb{R}, i\cdot1=i\not\in\mathbb{R}.}\)

\(\displaystyle{ \sqrt2\in\mathbb{R}, 1\in\mathbb{Q}, \sqrt2\cdot1=\sqrt2\not\in\mathbb{Q}.}\)
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

Przestrzeń liniowa

Post autor: patricia__88 »

Dziękuję Ci bardzo, już wszystko rozumiem.-- 6 lip 2012, o 21:03 --Mam jeszcze pytanie jakie są podprzestrzenie wymienionych przestrzeni liniowych, czyli \(\displaystyle{ (R^3,R,+,\cdot)}\) i \(\displaystyle{ (R[x],R,+,\cdot)}\)?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Przestrzeń liniowa

Post autor: norwimaj »

patricia__88 pisze: Mam jeszcze pytanie jakie są podprzestrzenie wymienionych przestrzeni liniowych, czyli \(\displaystyle{ (R^3,R,+,\cdot)}\) i \(\displaystyle{ (R[x],R,+,\cdot)}\)?
Ale o co chodzi? O podanie przykładów takich podprzestrzeni?
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

Przestrzeń liniowa

Post autor: patricia__88 »

Dokładnie tak

-- 7 lip 2012, o 12:48 --

Może ktoś podać przykłady podprzestrzeni?
norwimaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5101
Rejestracja: 11 mar 2011, o 16:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1001 razy

Przestrzeń liniowa

Post autor: norwimaj »

Podprzestrzeniami \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\) są na przykład
  1. \(\displaystyle{ \{(0,0,0)\},}\)
  2. \(\displaystyle{ \{(x,y,0):x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\},}\)
  3. \(\displaystyle{ \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:x+y+2z=0\},}\)
  4. \(\displaystyle{ \mathbb{R}^3}\)
patricia__88
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 367
Rejestracja: 15 gru 2010, o 12:27
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: podkarpacie
Podziękował: 3 razy

Przestrzeń liniowa

Post autor: patricia__88 »

Ok już rozumiem, a mogę jeszcze prosić o przykład i kontrprzykład podprzestrzeni dla \(\displaystyle{ (R[x],R,+,\cdot)}\)?

Bo dla przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\) kontrprzykład to np. \(\displaystyle{ x+y+z=1}\), tak?
ODPOWIEDZ