macierz dodatno okreslona a maciez przekatniowo dominujaca

[mike_btls]

witam,
czy wie ktos moze jka udowodnic:
jesli macierz przekatniowo dominujaca ma na przekatnej dodatnie elementy to jest macierza dodatnio okreslona
dziekuje za pomoc

[Wasilewski]

Żeby był sens mówić o dodatniej określoności, trzeba założyć, że macierz jest symetryczna.
Przejdźmy do konkretów. Załóżmy, że \(\displaystyle{ \lambda}\) jest wartością własną macierzy \(\displaystyle{ A}\); z założenia jest ona rzeczywista. Odpowiadającym jej wektorem własnym będzie \(\displaystyle{ \mathbf{v} = (v_{1}, \dots, v_{n})}\). Powiedzmy, że \(\displaystyle{ v_{i}}\) jest jego największą, co do modułu, współrzędną. Wykorzystując, że \(\displaystyle{ \mathbf{v}}\) jest wektorem własnym, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \lambda v_{i} = \sum_{j} a_{ij} v_{j},}\)
a następnie:
\(\displaystyle{ \lambda = a_{ii} + \sum_{j \neq i} a_{ij} \frac{v_{j}}{v_{i}}}\).
Jednak \(\displaystyle{ \left| \frac{v_{j}}{v_{i}}\right|}\), więc z faktu, że macierz \(\displaystyle{ A}\) ma dominującą przekątną otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \lambda = a_{ii} + \sum_{j \neq i} a_{ij} \frac{v_{j}}{v_{i}} \ge a_{ii} - \sum_{j\neq i} |a_{ij}| \ge 0}\),
co właśnie daje nam nieujemną określoność; a lepiej się nie da, chyba że przekątna dominuje silnie.

[mike_btls]

dzieki, dokladnie o to chodzilo

[Mariusz M]

Wasilewski, chyba ci się coś pomyliło istnieją macierze niesymetryczne
które są dodatnio określone
Jakiś czas temu użytkownik
profiles/87320.htm podał nawet przykład takiej macierzy
natomiast jeśli macierz jest niesymetryczna to popularne kryterium nie zadziała