Wyznacz rząd macierzy w zależnosci od parametru
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&k&k&k\\k&1&k&k\\k&k&1&k\\k&k&k&1\end{array}\right]}\).
Wiem ze są dwie metody wyznaczania rzędu,jedna związana z minorami druga z postacią schodkową,minory raczej sprawdzaja sie do macierzy 3x3,dlatego domyslam sie ze tu trzeba bedzie zastosować sprowadzanie macierzy do postaci schodkowej.Jednak nie wiem czy do konca dobrze posługuje sie tą metoda,wyszło mi \(\displaystyle{ k=0 i k=1}\) i wtedy rząd jest mniejszy niz 4,dla \(\displaystyle{ k \neq 0 i k \neq 1}\) rzad równy 4.
Mogę prosić kogoś o przeliczenie tego i jezeli mam źle to o pokazanie jakie operacje elementarne powinnam wykonac i jak powinna wygladac ta macierz schodkowa zeby było dobrze;))
Wyznacz rząd macierzy
-
miodzio1988
Wyznacz rząd macierzy
Dla \(\displaystyle{ k=0}\) mamy macierz jednostkową, więc wtedy rząd jest równy cztery. Pokaż obliczenia
-
Nesquik
- Użytkownik
- Posty: 410
- Rejestracja: 23 lut 2012, o 13:54
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Bielsko-Biała
- Podziękował: 25 razy
Wyznacz rząd macierzy
No tak,racja zwątpiłam w postac schodkowa bo się pogubiłam,dlatego będę wdzięczna jakby ktoś mi pokazał jak te przejscia trzeba wykonać,zaczełam sie bawic w wyznacznik i po przyrównaniu go do zera wyszły mi dwa pierwiastki \(\displaystyle{ k=1}\) jest trzykrotnym pierwiastkiem i\(\displaystyle{ k=- \frac{1}{3}}\) jednokrotnym. i podstawiajac do macierzy i przekształcając ją mam ze dla \(\displaystyle{ k=1}\) rzad jest 1 a dla \(\displaystyle{ k=- \frac{1}{3}}\) rząd jest 3.
A co do moich przekształcen to wyglądały tak:
1.odejmuje od kazdego wiersza wiersz czwarty
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-k&0&0&k-1\\0&1-k&0&k-1\\0&0&1-k&k-1\\k&k&k&1\end{bmatrix}}\)
2.do wiersza czwartego dodaje wiersz pierwszy,drugi,trzeci
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-k&0&0&k-1\\0&1-k&0&k-1\\0&0&1-k&k-1\\1&1&1&3k-2\end{bmatrix}}\)
3.wiersz czwarty daje na sam początek
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}k&k&k&1\\1-k&0&0&k-1\\0&1-k&0&k-1\\0&0&1-k&k-1\end{bmatrix}}\)
-- 3 lip 2012, o 23:27 --
Do tego zadanka jest jeszcze druga część, trzeba wskazac parametr \(\displaystyle{ k}\), dla którego \(\displaystyle{ R^{4}=Lin\left\{ (1,k,k,k),(k,1,k,k)\right\} + Lin\left\{ (k,k,1,k),(k,k,k,1)\right\}}\) gdzie \(\displaystyle{ +}\) oznacza sumę prostą.
Wyszło mi ze
\(\displaystyle{ { (1,k,k,k),(k,1,k,k)\right\}}\) są liniowo niezależne dla \(\displaystyle{ k=0 ,k=1}\)
\(\displaystyle{ { (k,k,1,k),(k,k,k,1)\right\}}\) są liniowo niezależne dla \(\displaystyle{ k=0 ,k=1}\)
A dla wszystkich czterech wektorów parametr musi byc różny od \(\displaystyle{ 0}\) i\(\displaystyle{ - \frac{1}{3}}\)zeby wyznacznik był różny od zera czyli wektory były niezależne czyli z tego wynika ze \(\displaystyle{ k=0}\) zeby była to suma prosta,tak?
A co do moich przekształcen to wyglądały tak:
1.odejmuje od kazdego wiersza wiersz czwarty
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-k&0&0&k-1\\0&1-k&0&k-1\\0&0&1-k&k-1\\k&k&k&1\end{bmatrix}}\)
2.do wiersza czwartego dodaje wiersz pierwszy,drugi,trzeci
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1-k&0&0&k-1\\0&1-k&0&k-1\\0&0&1-k&k-1\\1&1&1&3k-2\end{bmatrix}}\)
3.wiersz czwarty daje na sam początek
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}k&k&k&1\\1-k&0&0&k-1\\0&1-k&0&k-1\\0&0&1-k&k-1\end{bmatrix}}\)
-- 3 lip 2012, o 23:27 --
Do tego zadanka jest jeszcze druga część, trzeba wskazac parametr \(\displaystyle{ k}\), dla którego \(\displaystyle{ R^{4}=Lin\left\{ (1,k,k,k),(k,1,k,k)\right\} + Lin\left\{ (k,k,1,k),(k,k,k,1)\right\}}\) gdzie \(\displaystyle{ +}\) oznacza sumę prostą.
Wyszło mi ze
\(\displaystyle{ { (1,k,k,k),(k,1,k,k)\right\}}\) są liniowo niezależne dla \(\displaystyle{ k=0 ,k=1}\)
\(\displaystyle{ { (k,k,1,k),(k,k,k,1)\right\}}\) są liniowo niezależne dla \(\displaystyle{ k=0 ,k=1}\)
A dla wszystkich czterech wektorów parametr musi byc różny od \(\displaystyle{ 0}\) i\(\displaystyle{ - \frac{1}{3}}\)zeby wyznacznik był różny od zera czyli wektory były niezależne czyli z tego wynika ze \(\displaystyle{ k=0}\) zeby była to suma prosta,tak?