Wyznaczyć równanie prostej, płaszczyzny i pole trójkąta

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Slomka_CK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 26 lut 2010, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 1 raz

Wyznaczyć równanie prostej, płaszczyzny i pole trójkąta

Post autor: Slomka_CK »

mam 3 punkty \(\displaystyle{ A(1,0,2) \; B(3,2,4) \; C(-1,2,2)}\)
Zadanie wyznaczyć równanie prostej \(\displaystyle{ AB}\) równanie płaszczyzny \(\displaystyle{ ABC}\), pole trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\)
proszę o pomoc od czego zacząć
Ostatnio zmieniony 3 lip 2012, o 16:57 przez Althorion, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Wyznaczyć równanie prostej, płaszczyzny i pole trójkąta

Post autor: Althorion »

Od tego, jak można zapisać równanie prostej czy płaszczyzny oraz do przypomnienia sobie wzoru na pole trójkąta o zadanych wierzchołkach.

Podpowiedź 1.:
Prostą \(\displaystyle{ \overline{AB}}\) można wygodnie zadać jako sumę współrzędnych punktu \(\displaystyle{ A}\) i wielokrotności wektora \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\).

Podpowiedź 2.:
Płaszczyznę \(\displaystyle{ ABC}\) można wygodnie zadać jako sumę współrzędnych jednego jej punktu i kombinacji liniowych wektorów ją rozpinających.
Slomka_CK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 26 lut 2010, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 1 raz

Wyznaczyć równanie prostej, płaszczyzny i pole trójkąta

Post autor: Slomka_CK »

znalazłem przykład i na podstawie jego wychodzi mi że powinienem policzyć dwa wektory AB i AC odejmując od punktu B i C punkt A
wyszło takie coś

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\) = \(\displaystyle{ [4,2,2]}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\) = \(\displaystyle{ [0,2,0]}\)

następnie obliczam iloczyn wektorowy

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\) X \(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\) \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\4&2&2\\0&2&0\end{array}\right|}\) = \(\displaystyle{ [-4,0,8]}\)
następnie oblcizam pole trójkąta równe

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) X \(\displaystyle{ \sqrt{-4^{2}+0^{2}+8^{2}}}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) X \(\displaystyle{ \sqrt{80}}\)
czy to jest dobrze ??

odnośnie podpowiedzi Althorionie czy mógłbyś inaczej to powiedzieć bo właśnie szukając tego co napisałeś trafiłem na rozwiązanie tego co właśnie napisałem
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Wyznaczyć równanie prostej, płaszczyzny i pole trójkąta

Post autor: Althorion »

Źle wyznaczyłeś pierwsze współrzędne w obu wektorach.

Co do pozostałych, to jak pisałem:
a) prosta:
Wystarczy podać sumę współrzędnych punktu \(\displaystyle{ A}\) i wielokrotności wektora \(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\), czyli:
\(\displaystyle{ l: A + \lambda \overrightarrow{AB} = \ldots}\)
b) płaszczyzna:
\(\displaystyle{ \Pi : A + \alpha \overrightarrow{AB} + \beta \overrightarrow{AC} = \ldots}\)
Slomka_CK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 26 lut 2010, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 1 raz

Wyznaczyć równanie prostej, płaszczyzny i pole trójkąta

Post autor: Slomka_CK »

powiedz co tam jest źle wyznaczone bo patrzę na skrypt Pani doktor z Politechniki Świętokrzyskiej i tak właśnie zrobiła ale nie wiem może jest błąd
ona po prostu odejmuje od współrzędnych punktu B współrzędne punktu A i ja tak samo zrobiłem

Edycja: rzeczywiście źle wyznaczyłem przepraszam za pomyłkę

-- 3 lip 2012, o 18:11 --

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\) = \(\displaystyle{ [2,2,2]}\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\) = \(\displaystyle{ [-2,2,0]}\)

następnie obliczam iloczyn wektorowy

\(\displaystyle{ \overrightarrow{AB}}\) X \(\displaystyle{ \overrightarrow{AC}}\) \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&2&2\\-2&2&0\end{array}\right|}\) = \(\displaystyle{ [0,-8,8]}\)
następnie oblcizam pole trójkąta równe

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) X \(\displaystyle{ \sqrt{0^{2}+-8^{2}+8^{2}}}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) X \(\displaystyle{ \sqrt{128}}\)
czy teraz jest dobrze ??
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Wyznaczyć równanie prostej, płaszczyzny i pole trójkąta

Post autor: Althorion »

Tak, jest OK.
Slomka_CK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19
Rejestracja: 26 lut 2010, o 21:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kielce
Podziękował: 1 raz

Wyznaczyć równanie prostej, płaszczyzny i pole trójkąta

Post autor: Slomka_CK »

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2&2&2\end{array}\right|}\) mój punkt A
+
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&0&2\end{array}\right|}\) mój wektor AB
=
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}3&0&4\end{array}\right]}\) i to są współrzędne mojej prostej ??

dalej nie rozumiem co piszesz o płaszczyźnie
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

Wyznaczyć równanie prostej, płaszczyzny i pole trójkąta

Post autor: Althorion »

Nie. To ma być krotność wektora. Zapis wygląda tak:
\(\displaystyle{ l: A + \lambda \overrightarrow{AB} = (1; 0; 2) + \lambda [2; 2; 2]}\)
Co, jeśli chcesz, możesz przedstawić w postaci:
\(\displaystyle{ l : \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = 0 + 2\lambda \\ z = 2 + 2\lambda\end{cases}}\)
I analogicznie dla płaszczyzny (tylko tam będą dwa parametry).
ODPOWIEDZ