macierz A^n

[forgottenhopes]

\(\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}5&0&0\\6&5&-6\\3&0&2\end{bmatrix}}\)

Znaleźć \(\displaystyle{ A ^{n} , n \in N}\).

[norwimaj]

Znalezienie wektorów własnych tej macierzy albo wielomianu charakterystycznego chyba nie jest problemem? (można w pamięci nawet)

[forgottenhopes]

Masz rację, nie jest.
\(\displaystyle{ D=\begin{bmatrix}5&0&0\\0&5&0\\0&0&2\end{bmatrix}}\)

Problemem jest następne przejście.

[smigol]

No dobra, masz postać diagonalną. Szukasz macierzy przejścia, potęgujesz.

[forgottenhopes]

I właśnie się zastanawiam czy taka zależność będzie możliwa :
\(\displaystyle{ D ^{n} =P ^{-1} \cdot A ^{n}\cdot P}\)
czyli
\(\displaystyle{ A ^{n}=P\cdot D ^{n}\cdot P ^{-1}}\)?

[smigol]

Tak.