WKW na diagonalizowalność endomorfizmu

[niebieska_biedronka]

Mam takie twierdzenie - WKW na diagonalizowalność endomorfizmu:
Endomorfizm \(\displaystyle{ f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n}\) jest diagonalizowalny \(\displaystyle{ \Leftrightarrow}\) wielomian charakterystyczny ma postać: \(\displaystyle{ \Delta(\lambda) = (\lambda_1 -\lambda)^{k_1} \cdot (\lambda_2 - \lambda)^{k_2} \cdot ... \cdot (\lambda_p - \lambda)^{k_p}}\), gdzie \(\displaystyle{ k_1 + k_2 +...+ k_p = n, \quad \forall_{ i \neq j} \lambda_i \neq \lambda_j ,}\) oraz \(\displaystyle{ \forall_{i \in \{1,...,p\}} \dim V_{\lambda_i}} = k_i}\).

Dowód w zasadzie rozumiem, tylko w jednym momencie mam wątpliwości. Przedstawiam jego fragment aż do tego miejsca.

Dowód \(\displaystyle{ ( \Rightarrow )}\):
Wielomian \(\displaystyle{ \Delta(\lambda)}\) ma stopień n i współczynnik przy \(\displaystyle{ \lambda^n}\) równy \(\displaystyle{ (-1)^n}\). Niech \(\displaystyle{ \Delta(\lambda) = (\lambda_1 -\lambda)^{k_1} \cdot (\lambda_2 - \lambda)^{k_2} \cdot ... \cdot (\lambda_p - \lambda)^{k_p} \cdot Q(\lambda)}\), gdzie \(\displaystyle{ Q(\lambda)}\) - wielomian stopnia \(\displaystyle{ s \ge 0 (s \le n)}\), nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Wtedy \(\displaystyle{ k_1 + k_2 +... k_p = n-s}\).
f jest diagonalizowalny, więc istnieje baza w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) złożona z wektorów własnych odpowiadających wartościom własnym f, czyli pierwiastkom wielomianu \(\displaystyle{ \Delta(\lambda)}\), zatem w bazie mamy wektory:
\(\displaystyle{ l_1}\) wektorów z \(\displaystyle{ V_{\lambda_1}}\) , \(\displaystyle{ l_2}\) wektorów z \(\displaystyle{ V_{\lambda_2}}\) , ..., \(\displaystyle{ l_p}\) wektorów z \(\displaystyle{ V_{\lambda_p}}\).
Wtedy \(\displaystyle{ l_1 + l_2 + ... +l_p = n}\).

I teraz korzystam z takiej nierówności: \(\displaystyle{ l_i \le \dim V_{\lambda_i} \le k_i}\). Jej "prawa część" pochodzi z innego twierdzenia, natomiast zastanawiam się, skąd ta nierówność \(\displaystyle{ l_i \le \dim V_{\lambda_i}}\), czy nie można tutaj od razu napisać równości? Dalszą część dowodu rozumiem, pozostał mi tylko ten drobny szczegół, który nie jest pewnie zbyt znaczący, ale mam niedługo egzamin ustny, podczas którego takie właśnie detale mają szczególne znaczenie...

[Majeskas]

Na mój rozum też powinna być tam równość. Ale może niech wypowie się ktoś mądrzejszy.

[niebieska_biedronka]

Na szczęście jestem już po egzaminie i nie muszę tego wiedzieć... ale mimo wszystko nadal jestem ciekawa
@Majeskas, dziękuję za odpowiedź

[Ein]

Można dać tam równość, wszak wymiar \(\displaystyle{ V_{\lambda_i}}\) to maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów własnych stowarzyszonych z wartością \(\displaystyle{ \lambda_i}\). A więc jeżeli operator jest diagonalizawalny, to \(\displaystyle{ V=V_{\lambda_1}+\ldots+V_{\lambda_k}}\). Pozostaje pokazać, że wektor zerowy \(\displaystyle{ 0}\) ma jednoznaczne przedstawienie przez wektory z \(\displaystyle{ V_{\lambda_1},\ldots,V_{\lambda_k}}\). Mamy: \(\displaystyle{ 0=v_1+\ldots+v_k}\) -- \(\displaystyle{ v_i}\) są wektorami własnymi stowarzyszonymi z wartościami własnymi \(\displaystyle{ \lambda_i}\), odpowiednio, są więc liniowo niezależne, skąd wynika, że wszystkie \(\displaystyle{ v_i=0}\). To nam daje, że \(\displaystyle{ V=\bigoplus_iV_{\lambda_i}}\). Wynika stąd teraz, że w każdej eigenbazie (bazie składającej się z wektorów własnych operatora) mamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych wektorów własnych stowarzyszonych z daną wartością własną.