wyznaczyć formę kwadratową

[forgottenhopes]

Niech \(\displaystyle{ f: R^3\times R^3 \rightarrow R}\) będzie formą dwuliniową przyjmującą dla dowolnych \(\displaystyle{ x=(x _{1} ,x _{2} ,x _{3} ), y=(y _{1} ,y _{2} ,y _{3} ) \in R^3}\) wartość:
\(\displaystyle{ f(x,y)=x _{1} y _{1} - x _{2} y _{2} +x _{3} y _{3} +3x _{1} y _{3} +x _{3} y _{1}}\)
Wyznacz formę kwadratową \(\displaystyle{ g: R^3\rightarrow R}\) generowaną przez formę f oraz macierz A formy g w bazie kanonicznej \(\displaystyle{ B _{k}}\) .

Bardzo proszę o pomoc z tym zadaniem.

[Spektralny]

Forma kwadratowa pochodząca od \(\displaystyle{ f}\), to nic innego jak funkcja

\(\displaystyle{ g(x)=f(x,x) = x_1^2 - x_2^2 + x_3^2 +3x_1x_3 +x_3x_1 = x_1^2 - x_2^2 + x_3^2 +4x_1x_3}\).

Macierz znajdujemy bardzo łatwo. Dana jest ona wzorem \(\displaystyle{ [f(e_i, e_j)]_{i,j\leqslant 3}}\), przy czym \(\displaystyle{ (e_1, e_2, e_3)}\) to baza kanoniczna przestrzeni trójwymiarowej (należy wyznaczyć odpowiednie wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\) i wstawić do macierzy).

[forgottenhopes]

Dziękuję za pomoc.

Do tego zadania jeszcze: podać formę biegunowa dla g(x).
W jaki sposób to zrobić?