układ równań liniowych -macierz

[shakurx]

Mam takie zadanie:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=2 \\ -x+2y+3z= 2 \\ 2x-3y-z = 1 \\ x-y-z=0\end{cases}}\) czy mógłbym poprosić o pomoc?

[AloneAngel]

Aa macierz, chwila..-- 28 cze 2012, o 16:58 --\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&2\\-1&2&3&2\\2&-3&-1&1\\1&-1&-1&0\end{array}\right]}\)

Dodaj ostatni wiersz do pierwszego...

[shakurx]

Znaczy sie ja to zrobiłem tak:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&2\\-1&2&3&2\\2&-3&-1&1\\1&-1&-1&0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ W1+ W2 \rightarrow W2}\)

\(\displaystyle{ -2W1+W3 \rightarrow W3}\)

\(\displaystyle{ -1W1+W4 \rightarrow W4}\) i to mi daje

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&2\\0&3&4&4\\0&-5&-3&-3\\0&-2&-2&-2\end{array}\right]}\) i co teraz?

[AloneAngel]

\(\displaystyle{ W_{2} + 2W_{4}}\)
Dzięki temu wyliczysz zmienną.\(\displaystyle{ y}\)-- 28 cze 2012, o 17:11 --Następnie podziel \(\displaystyle{ W_{4} :2}\) i zrób \(\displaystyle{ W_{1}+W{4}}\). Obliczysz dzięki temu zmienną \(\displaystyle{ x}\)

[shakurx]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&2\\0&3&4&4\\0&-5&-3&-3\\0&-2&-2&-2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ W4:(-2)}\) i mamy \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&1&2\\0&3&4&4\\0&-5&-3&-3\\0&1&1&1\end{array}\right]}\) i teraz:

\(\displaystyle{ -1W4+W1 \rightarrow W1}\)

\(\displaystyle{ -3W4+W2 \rightarrow W2}\)

\(\displaystyle{ 5W4+W3 \rightarrow W3}\) i mam macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&0&1&1\\0&0&2&2\\0&1&1&1\end{array}\right]}\) wykreślam wiersz 3 bo jest proporcjonalny do wiersza 2 i mam macierz: \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&0&1&1\\0&1&1&1\end{array}\right]}\). Poprawnie tak jest? co dalej się robi?

[AloneAngel]

\(\displaystyle{ W_{3}-W_{2}}\)

I gotowe.

[shakurx]

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&0&1&1\\0&1&1&1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ W3-W2 \rightarrow W3}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&0&1&1\\0&1&0&0\end{array}\right]}\) Czyli x=1 ,y=1, z=1 ??

[AloneAngel]

Z pierwszego wiersza mamy \(\displaystyle{ x = 1}\), z drugiego \(\displaystyle{ z = 1}\) z trzeciego \(\displaystyle{ y = 0}\).

[shakurx]

ale dlaczego y=0? dlatego że w 4 kolumnie jest 0 to sie jakoś mnoży czy porównuje?

[AloneAngel]

Porównuje się to głownie z czwartą kolumną - ponieważ w macierzy w czwartej kolumnie wpisałeś wartości tych równań tak?

I tak:

W pierwszym wierszu tam gdzie podstawiałeś wartosć \(\displaystyle{ x}\) masz 1, a pozostałe dwa miejsca ( odpowiednio \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ z}\) ) to zera. W czwartej kolumnie masz natomiast \(\displaystyle{ 1}\). Czyli \(\displaystyle{ x = 1}\)

Następnie w drugim wierszu masz najpierw dwa zera ( \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) ) natomiast na trzecim miejscu masz \(\displaystyle{ 1}\) ( zmienna \(\displaystyle{ z}\). Na czwartej pozycji masz \(\displaystyle{ 1}\), a więc \(\displaystyle{ z = 1}\).

I trzeci wiersz: Na pierwszym i trzecim miejscu masz \(\displaystyle{ 0}\)(odpowiednio \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ z}\)), a na drugim miejscu masz \(\displaystyle{ 1}\) ( zmienna \(\displaystyle{ y}\)). Na czwartym miejscu masz \(\displaystyle{ 0}\) a wiec dla zmiennej \(\displaystyle{ y}\) jest przyporządkowana wartość \(\displaystyle{ 0}\), czyli \(\displaystyle{ y=0}\).

Pierwsza kolumna w Twojej macierzy, to zmienne \(\displaystyle{ x}\), druga - zmienne \(\displaystyle{ y}\), trzecia - zmienne \(\displaystyle{ z}\) i czwarta - wartości tych zmiennych.

[shakurx]

Ok super dzięki. Czy gdyby było tak np dajmy:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&1\\0&0&1&1\\0&1&0&2\end{array}\right]}\) to \(\displaystyle{ y=2}\) dobra teraz rozumiem

[AloneAngel]

Tak