macierze skośnie symetryczne

[alfa123]

Jak udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą skośnie symetryczną, to \(\displaystyle{ A^{\sigma}}\) też jest macierzą skośnie symetryczną, gdzie \(\displaystyle{ \sigma}\) należy do grupy permutacji.

[Spektralny]

Czego permutacją jest \(\displaystyle{ \sigma}\)? Napisz proszę co rozumiesz przez symbol \(\displaystyle{ A^\sigma}\).

[alfa123]

Np.: Niech macierz
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}0&1&2\\-1&0&3\\-2&-3&0\end{array}\right]}\)
będzie macierzą skośnie symetryczną oraz niech
\(\displaystyle{ \sigma=(\begin{tabular}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \\ \end{tabular})}\)
będzie permutacją działającą jednocześnie na wierszach i kolumnach macierzy \(\displaystyle{ A}\), czyli wartość współrzędnej np. \(\displaystyle{ a_{12}}\) przechodzi na współrzędną \(\displaystyle{ a_{31}}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ A^{\sigma}=\left[\begin{array}{ccc}0&3&-1\\3&0&-2\\1&2&0\end{array}\right]}\).

Jak zatem udowodnić, że zawsze jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą skośnie symetryczną, to \(\displaystyle{ A^{\sigma}}\) też jest macierzą skośnie symetryczną, gdzie \(\displaystyle{ \sigma}\) należy do grupy permutacji. Jak ten dowód przeprowadzić?

[alfa123]

bardzo proszę o wskazówki...

[frej]

\(\displaystyle{ A}\) jest skośnie symetryczna wtw gdy \(\displaystyle{ a_{ij}=-a_{ji}}\). Wystarczy popatrzeć na to jak wygląda macierz \(\displaystyle{ A^{\sigma}}\) i wyjdzie.

Można też tak:
\(\displaystyle{ A^T=-A}\) oraz \(\displaystyle{ A^\sigma=P^T A P}\) dla pewnej macierzy \(\displaystyle{ P}\).
Permutowanie wierszy i kolumn można wyrazić przy pomocy mnożenia przez pewne macierze...

[alfa123]

Skąd wiadomo, że akurat \(\displaystyle{ A^\sigma=P^T A P}\)?

-- 12 lip 2012, o 22:58 --

Czy to jest jednoznaczne przedstawienie permutacji macierzy?-- 13 lip 2012, o 16:52 --Jak udowodnić, że \(\displaystyle{ A^\sigma=P^T A P}\)?

[bartek118]

Jak udowodnić, że \(\displaystyle{ A^\sigma=P^T A P}\)?

Zauważ, że zamiana wierszy/kolumn macierzy to właśnie przemnożenie przez pewną macierz.

[alfa123]

Już wiem jak wygląda ta macierz \(\displaystyle{ P}\).
Ale jak udowodnić, że to jest akurat taki iloczyn \(\displaystyle{ A^\sigma=P^T A P}\) i że mnożymy macierz \(\displaystyle{ A}\) akurat w takiej kolejności przez macierz \(\displaystyle{ P^T}\) i \(\displaystyle{ P}\).
Jak to uzasadnić?-- 23 lip 2012, o 13:31 --Czy jest to związane z macierzą przejścia od jednej bazy do drugiej?