Wartości własne operatora

[Mens]

Cześć, mam do zrobienia jedno zadanie z zagadnienia z tematu, ale nie bardzo wiem jak zabrać się za to w tym przypadku:

Znajdź wartości własne operatora liniowego \(\displaystyle{ (B ^{4}+ \lambda \cdot I)}\) przy założeniu, że \(\displaystyle{ I}\) to operator reprezentowany przez macierz jednostkową, a lambda należy do liczb rzeczywistych.

[smigol]

A endomorfizm nie jest dany przypadkiem?

[Mens]

Zapomniałem jeszcze dodać, \(\displaystyle{ B}\) to macierz hermitowska. Razem to cała treść zadania.

[fon_nojman]

Napisz warunek definicyjny na wartości własne operatora \(\displaystyle{ B^4+\lambda I}\) oraz \(\displaystyle{ B^4.}\)

[Mens]

Mógłbym prosić o troszkę bardziej szczegółowo?

Czy chodzi o:

\(\displaystyle{ Tx=\lambda \cdot x}\)
\(\displaystyle{ (B ^{4} +\lambda \cdot I)x=\lambda \cdot x}\)
\(\displaystyle{ B ^{4} x=0}\)
?

[fon_nojman]

Możesz, napisałeś warunek tylko dla \(\displaystyle{ B^4+\lambda I}\) i to jeszcze z błędem. Czy po dwóch stronach powinno być \(\displaystyle{ \lambda}\)?

[Mens]

To powinno być:

\(\displaystyle{ (B ^{4} +\lambda \cdot I)x=\lambda \cdot x}\)
\(\displaystyle{ B ^{4}x +\lambda \cdot Ix=\lambda \cdot x}\)
\(\displaystyle{ B ^{4}x =\lambda \cdot x-\lambda \cdot Ix}\)
?

[fon_nojman]

Nie.

\(\displaystyle{ \alpha}\) jest wartością własną operatora \(\displaystyle{ B^4+\lambda I}\) gdy istnieje \(\displaystyle{ x \neq 0}\) takie, że \(\displaystyle{ (B^4+\lambda I)x=\alpha x.}\)

\(\displaystyle{ \beta}\) jest wartością własną operatora \(\displaystyle{ B^4}\) gdy istnieje \(\displaystyle{ y \neq 0}\) takie, że \(\displaystyle{ B^4 y=\beta y.}\)

Chcemy znaleźć wszystkie \(\displaystyle{ \alpha}\) spełniające pierwszy warunek korzystając z drugiego warunku. Jak możemy przekształcić pierwszy?

[Mens]

Hm, czy wystarczy podstawić \(\displaystyle{ \beta}\) w nawias zamiast \(\displaystyle{ B ^{4}}\)?

[fon_nojman]

Chyba tak, tylko zapisz to co masz na myśli.

[Mens]

\(\displaystyle{ ( \beta+\lambda I)x=\alpha x}\)

Podejrzewam że źle to wszystko rozumuje, ale staram się, chociaż szczerze mówiąc - nie wiem co dalej.

[fon_nojman]

Pomysł nie jest zły ale wykonanie gorsze. Zobacz co dostajesz \(\displaystyle{ \beta+\lambda I}\) czyli liczba plus operator, tak nie można. Może tak

\(\displaystyle{ (B^4+\lambda I)x=\alpha x \Leftrightarrow B^4 x=(\alpha-\lambda)x.}\)

Czyli liczby \(\displaystyle{ \alpha-\lambda}\) są wartościami własnymi operatora \(\displaystyle{ B^4.}\)

Zatem \(\displaystyle{ \alpha}\) są postaci \(\displaystyle{ \lambda+\gamma^4,}\) gdzie \(\displaystyle{ \gamma}\) to wartość własna operatora \(\displaystyle{ B.}\)

Drugi sposób, wyznacznikowy:
Szukamy \(\displaystyle{ \alpha}\) takich, że \(\displaystyle{ det(B^4+\lambda I-\alpha I)=0 \Leftrightarrow det(B^4-(\alpha-\lambda))=0.}\) Czyli \(\displaystyle{ \alpha-\lambda}\) są wartościami własnymi operatora \(\displaystyle{ B^4.}\)