liniowa zależność

kokoszka1992 · Post autor: **kokoszka1992** » 25 cze 2012, o 09:30

Witam wszystkich
mam problem dotyczący poniższego zad :
czy jest prawdziwe stwierdzenie , że wektory w przestrzeni \(\displaystyle{ X}\) nad ciałem liczb zespolnoych są liniowo zależne wtedy i tylko wtedy gdy wektory \(\displaystyle{ 2+iv , 2-iv}\) są liniowo zależne.

Za wszystkie wskazówki serdecznie dziękuje.

kammeleon18 · Post autor: **kammeleon18** » 25 cze 2012, o 14:22

Rozpisz dla obu przypadków warunki liniowej zależności i sprawdź czy są równoważne

kokoszka1992 · Post autor: **kokoszka1992** » 26 cze 2012, o 15:51

robiłam coś takiego Hp nie wprost przupuscmy ze \(\displaystyle{ 2u-v, 2u+v}\) są lin zal
\(\displaystyle{ a(2u-v) + b( 2u+v ) = 0\\
(2a+2b)u + (ai +bi)v=0}\)
i stąd wynika że \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) też są lin zal
nie mam pojęcia co dalej i czy to w ogóle rozumowanie jest dobre

kammeleon18 · Post autor: **kammeleon18** » 26 cze 2012, o 19:04

No dowód w jedną stronę już masz, teraz w drugą

kokoszka1992 · Post autor: **kokoszka1992** » 26 cze 2012, o 20:14

robiłam coś takiego Hp nie wprost przupuscmy ze \(\displaystyle{ 2u-v, 2u+v}\) są lin niezależne

\(\displaystyle{ a(2u-v) + b( 2u+v ) = 0\\
(2a+2b)u + (ai -bi)v=0}\)

w tym wyżej to się pomyliłam bo z tego wychodzi że \(\displaystyle{ a=b=0}\) i wychodzi ze są liniowo niezależne

co teraz?

kammeleon18 · Post autor: **kammeleon18** » 26 cze 2012, o 23:39

Dowód ma wyglądać tak:
Chcemy udowodnić, że \(\displaystyle{ p \Leftrightarrow q}\).
Najpierw dowodzimy \(\displaystyle{ p \Rightarrow q}\).
A potem \(\displaystyle{ q \Rightarrow p}\).
W tym przypadku
\(\displaystyle{ p}\) - wektory u i v są liniowo zależne.
\(\displaystyle{ q}\) - wektory \(\displaystyle{ 2u+v}\) i \(\displaystyle{ 2u-v}\) są liniowo zależne.

To co napisałaś najpierw było dobre, było połową dowodu, także dokończ to