Diagonalizacja macierzy

[michal9245]

Witam, mam takie zadanie do zrobienia:
Wykazać, żę macierz A jest diagonalizowalna oraz znaleźć macierz diagonalną D i nieosobliwą P spełniającą warunek \(\displaystyle{ D=P^-1AP}\)

\(\displaystyle{ A =\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\2&-1&3\\4&-2&6\end{array}\right]}\)

Szukam najpierw wartości i wektorów własnych, w tym wypadku
\(\displaystyle{ \lambda=0}\) \(\displaystyle{ k=2}\)

\(\displaystyle{ \lambda=5}\) \(\displaystyle{ k=1}\)
Czyli należy sprawdzić czy wymiar dla wartości własnej \(\displaystyle{ \lambda=0}\) jest równy 2, jak się później okazuje rzeczywiście tak jest bo rząd macierzy utworzonej po tej wzmiance jest równy 1. Wychodzi, że macierz diagonalna prezentuję się tak:

\(\displaystyle{ A =\left[\begin{array}{ccc}0&0&0\\2&-1&3\\4&-2&1\end{array}\right]}\)
I dalej zaczyna się mój problem, mam znaleźć macierz nieosobliwą...

Dla \(\displaystyle{ \lambda= 0}\) otrzymuję
\(\displaystyle{ \left [\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\2&-1&3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x&y&z\\\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0&0&0\\\\\end{array}\right]}\)
Z tego wychodzi: \(\displaystyle{ (x,y,z)=(-2x,-y,3z)=(0,0,0)}\) czyli \(\displaystyle{ (x,y,z)=(0,0,0)}\) a powinno być jeszcze jedno rozwiązanie bo krotność tego wymiaru jest równa 2, czyli 2 wektory powinny "budować" tą przestrzeń?
Co do drugiej wartości \(\displaystyle{ \lambda=5}\) to już wyszło chyba lepiej:
\(\displaystyle{ (0, \alpha ,0) , \alpha \in R}\)
Wychodzi na to, że brakuje mi jednego wektora żęby napisać macierz nieosobliwą...
Bardzo bym prosił o jakieś podpowiedzi, sugestie...

[AdamL]

Wybacz, że na razie tak po prostacku, bo samemu mi się przeliczać nie chciało:
... %2C6%29%29

Zasadniczo załóż, że macierz A jest w bazie standardowej, macierz Jordana ma bazę złożoną z wektorów własnych. Ta macierz P to macierz przejścia z jednej bazy do drugiej.

W Twoim obliczaniu wekt. wł. jest błąd - 1 równanie - 3 niewiadome - 2 wektory powinny byc ;p

[MarkoseK]

Dla \(\displaystyle{ \lambda= 0}\) otrzymuję
\(\displaystyle{ \left [\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&0\\2&-1&3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c}x&y&z\\\\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0&0&0\\\\\end{array}\right]}\)

A skąd Ci się wzięła ta nowa macierz?

[octahedron]

\(\displaystyle{ \lambda=0\\\\
\begin{bmatrix}0&0&0\\2&-1&3\\4&-2&6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\\\\
2x-y+3z=0 \Rightarrow y=2x+3z\\\\
\vec{u}_0=c_1\begin{bmatrix}1\\2\\0\end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix}0\\3\\1\end{bmatrix}\\\\
\lambda=5\\\\
\begin{bmatrix}-5&0&0\\2&-6&3\\4&-2&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\\\\
\begin{cases}x=0\\ z=2y\end{cases}\\\\
\vec{u}_5=c_3\begin{bmatrix}0\\1\\2\end{bmatrix}\\\\
D=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&5\end{bmatrix},\quad P=\begin{bmatrix}1&0&0\\2&3&1\\0&1&2\end{bmatrix}}\)