iloczyn skalarny

[lvk4s]

Witam,
W przestrzeni wektorowej algebraicznej \(\displaystyle{ V^{2}}\) nad ciałem R zadano funkcję:
\(\displaystyle{ V^{2} x V^{2} (x,y) \rightarrow (x|y) = x^{T} Ay \in R
,gdzie A = \begin{bmatrix} 1&3\\3&2\end{bmatrix}}\). Mam pytanie czy to jest iloczyn skalarny w \(\displaystyle{ V^{2}}\)?

Najpierw obliczyłem \(\displaystyle{ (x|y) = [\ x_{1}, x_{2}] \begin{bmatrix} 1&3\\3&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{1}\\y_{2} \end{bmatrix} = (x_{1} + 3x_{2})y_{1} + (3x_{1}+2x_{2})y_{2}}\)

Następnie zacząłem sprawdzać warunki dla iloczynu skalarnego:
1) \(\displaystyle{ ( x|y) = \overline{(y|x)}}\) dla R \(\displaystyle{ ( x|y) = (y|x)}\)

\(\displaystyle{ [x^{T}Ay]^{T}}\) = \(\displaystyle{ y^{T} Ax}\) =z definicji \(\displaystyle{ [AB]^{T} =B^{T}A^{T}}\)
2) Zatrzymałem się na \(\displaystyle{ (z + x|t)}\) wiem, że \(\displaystyle{ (z + x|t) = (z|t) + (z|x)}\)
ale teraz mam \(\displaystyle{ z}\) wymnażać razy każdy składnik A,x,y?
Dziękuje za pomoc

[Lorek]

Jak Ci się chce to wymnażaj, jak nie to sprawdź czy \(\displaystyle{ (x|x)\ge 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x}\). A jak chcesz zrobić to zadanie w 5 sekund to sprawdź czy macierz \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczna i dodatnio określona.

[lvk4s]

Jest dodatnio określona i symetryczna.
\(\displaystyle{ (x|x) \ge 0 = x_1^{2} + x_2^{2}}\) dla x=0 , \(\displaystyle{ (x|x)= 0}\)
co nie zmienia faktu, że nadal nie udowodniłem punktu 2.

[Lorek]

Hm to ciekawe, bo mi wyszła ujemnie określona, a \(\displaystyle{ (x|x)=x_1^2+6x_1x_2+2x_2^2}\). Rozwiązujemy ten sam przykład?

[lvk4s]

\(\displaystyle{ (x|x) = [\ x_{1}, x_{2}] \begin{bmatrix} 1&3\\3&2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2} \end{bmatrix} = (x_{1} + 3x_{2})x_{1} + (3x_{1}+2x_{2})x_{2} = x_1^2 + 6x_1x_2 + 2x_2^2}\)

Rozumiem, że na podstawie ... 4%87_formy obliczyłeś ujemnie określoną \(\displaystyle{ x^{T}Ax > 0}\) a nie według
\(\displaystyle{ a_{11} > 0}\) ?

[Lorek]

\(\displaystyle{ (x_{1} + 3x_{2})x_{1} + (3x_{1}+2x_{2})x_{2} = 4x_1^2 + 3x_2x_1 + 2x_2^2}\)

Na pewno? Przelicz jeszcze raz. Kryterium Sylvestera stosowałem i tam oprócz \(\displaystyle{ a_{11}>0}\) jest warunek \(\displaystyle{ \det A>0}\).

[lvk4s]

\(\displaystyle{ det A = -7}\).Tylko nadal nie rozumiem do czego ta określoność macierzy. Właśnie udowodniliśmy czwartą właściwość dla \(\displaystyle{ x=0 \Leftrightarrow (x|x) = 0}\)

[Lorek]

Macierz określa iloczyn skalarny wtw gdy jest symetryczna i dodatnio określona. A co do \(\displaystyle{ (x|x)}\) to poprawnie licząc mamy \(\displaystyle{ (x|x)=x_1^2+6x_1x_2+2x_2^2}\) i teraz przyjmując \(\displaystyle{ x=(x_1,-x_1)}\) mamy \(\displaystyle{ (x|x)=-3x_1^2< 0}\) dla \(\displaystyle{ x_i\neq 0}\) czyli nawet bez badania macierzy mamy dowód na to, że to nie jest iloczyn skalarny. Chyba, że \(\displaystyle{ V=\{0\}}\), to wtedy jest to iloczyn skalarny. Ale w jakichś większych przestrzeniach już nie.

[lvk4s]

Nawet we wzorze jest \(\displaystyle{ (x|x) \ge 0 \wedge (x|x) = 0 \Rightarrow x=0}\), a nie tak jak wcześniej pisałem, że w obie strony. Nie zrobiłem 2 i 3 punktu za to zadanie rozwiązane.
Dziękuje za pomoc.

[Lorek]

A jeszcze tak mi się przypomniało odnośnie punktu 3.:
\(\displaystyle{ (z+x|y)=(z+x)Ay^T=zAy^T+xAy^T=(z|y)+(x|y)}\)
i warunek sprawdzony.