Wyznaczenie bazy oraz współrzędnych wektora

[andrz3j]

Znajdź przykładową bazę w przestrzeni \(\displaystyle{ R^{4}}\) zawierającą dwa wektory z podprzestrzeni
\(\displaystyle{ V=\left\{\left( x,y,z,t\right) \in \mathbb R^{4} : x + y = y - 2z = t\right\}}\)
Znajdź współrzędne wektora (-2,3,1,1) w wybranej bazie.


Znalazłem w innym temacie jak dojść do jednorodnego układu równań liniowych.
Poprzez stworzenie układu równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x + y - t = 0\\ x + 2z = 0\\ y - 2z - t = 0\end{array}}\)

Wyszła taka oto macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&0&-1\\1&0&2&0\\0&1&-2&-1\end{array}\right]}\)

Co dalej zrobić aby otrzymać rozwiązanie oraz wektory tworzące bazę?

[sheilven]

Sprowadzasz macierz do postaci schodkowej
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&1&0&-1\\0&1&-2&-1\\0&0&0&0\end{array}\right]}\)
z tego masz rozwiązanie układu z zależności od dwóch parametrów. przyjmując x i y za te parametry, dowolny wektor z tej podprzestrzeni można zapisać: \(\displaystyle{ (x,y, -\frac{1}{2}x,x+y)=x*(1,0, -\frac{1}{2},1)+y*(0,1,0,1)}\) te dwa wektory są liniowo niezależne, więc tworzą bazę B.
współrzędne wektora:
\(\displaystyle{ (-2,3,1,1)=\alpha*(1,0, -\frac{1}{2},1)+\beta*(0,1,0,1)
(-2,3,1,1)=(\alpha,\beta)_B=(-2,3)_B}\)

[andrz3j]

dzieki W sumie udało mi sie do tego dość tylko zrobiłem w taki sposób

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = -2z\\ y = 2z +t\end{cases}}\) , zatem:

\(\displaystyle{ \left\{ \left( -2z, 2z +t, z, t\right) =: z,t \in R\right\} = lin \left\{ \left( -2,2,1,0\right), \left( 0,1,0,1\right) \right\}}\)

\(\displaystyle{ (-2,3,1,1)=\alpha*(-2,2, 1, 0)+\beta*(0,1,0,1)
(-2,3,1,1)=(\alpha,\beta)_B=(1,1)_B}\)

też jest dobrze?