Podprzestrzenie liniowe w R[x]

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
andrz3j
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 18 cze 2012, o 13:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Podprzestrzenie liniowe w R[x]

Post autor: andrz3j »

Mam takie zadanie i nie jestem pewny w jaki sposób je rozwiązać. Pytanie brzmi czy podane zbiory tworzą podprzestrzenie liniowe?

1. \(\displaystyle{ \left\{ p \in R_{2}[x] : p\left( 1\right) = p^{2}\left( 0\right) \right\}}\)

oraz

2. \(\displaystyle{ \left\{ p \in R_{3}[x] : p\left( 1\right) = p'\left( 0\right) \right\}}\)

Jak rozumiem, należy sprawdzić zależność:
w przypadku 1. \(\displaystyle{ \left( \alpha p + \beta q\right) (1) = \left( \alpha p + \beta q\right)^{2}\left( 0\right)}\)
Jeśli tak to jak to dalej rozwinąć i zrobić przyklad 2. ?
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Podprzestrzenie liniowe w R[x]

Post autor: Kartezjusz »

1. Nie- weź \(\displaystyle{ 2x^{2}+4x+3}\)
2. Tak
W obu wypadkach powinno pomóc,żw w wypadku wielomianów f(1)-suma po współczynnikach
f(0)-wyraz wolny.
andrz3j
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 18 cze 2012, o 13:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

Podprzestrzenie liniowe w R[x]

Post autor: andrz3j »

Mógłbyś rozwinąć myśl. Bo dalej mam problemy z rozwiązaniem...
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Podprzestrzenie liniowe w R[x]

Post autor: Kartezjusz »

W obu wypadkach trzeba sprawdzić ,czy
suma dwóch elementów ze zbioru w tym zbiorze siedzi
czy iloczyn przez skalar z ciała elementu ze zbioru nadal w nim siedzi i tu:

1.\(\displaystyle{ p(1)=9}\)
\(\displaystyle{ p(0)=3}\) czyli nasz wielomian należy do zbioru,ale pomnóż przez 2, to
\(\displaystyle{ p(1)=18}\),ale \(\displaystyle{ p(0)=6}\) i już nie należy.

2.Jak nasz wielomian jest postaci \(\displaystyle{ ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\) to nasza zależność jest postaci:
\(\displaystyle{ a+b+c+d=c}\)
czyli \(\displaystyle{ a+b+d=0}\).Weźmy dwa wielomiany( i ich współczynniki )
jeśli są z naszego zbioru, to
jeżeli I,II,IV współczynnik sumują się do zera to suma takich współczynników też. Mnożenie przez skalar ,też.
ODPOWIEDZ