Działania na macierzach

[KoD997]

Zadanie to "wykorzystując własności działań na macierzach uprość wyrażenie"

\(\displaystyle{ X=BA+2BA+3\left( AB ^{-1}\right) B}\)
Zrobiłem to tak:
\(\displaystyle{ X=B\left( A+BA\right) + 3\left( AB ^{-1} \right) B}\)
Ale coś czuję, że to za mało...
Wymiary macierzy nie są jednakowe.
Hmm a może powinno być tak:
\(\displaystyle{ X=B\left( A+2A\right) + 3AB}\) ?

[Lorek]

Wymiary macierzy nie są jednakowe.

Chyba raczej "nie muszą być jednakowe", choć to i tak nie ma wpływu na rozwiązanie. Z drugiej strony patrząc na ten przykład to muszą być tego samego wymiaru.
\(\displaystyle{ BA+2BA=3BA}\), co nie? \(\displaystyle{ (AB^{-1})B=A(B^{-1}B)=...}\)

[KoD997]

Tzn ja później w tym samym zadaniu miałem do policzenia \(\displaystyle{ X}\) i podane dwie macierze, jedna 2x3 a druga 2x2 ale nie wiem czy to ma znaczenie...

A czy forma \(\displaystyle{ X=B\left( A+2A\right) +3BA}\) nie jest dobra?-- 17 cze 2012, o 15:52 --O i kolejne zadanie. Mam taką macierz:

\(\displaystyle{ A= \begin{bmatrix} 3&0&0\\2&4&0\\-1&1&2\end{bmatrix}}\)
I teraz do policzenia
\(\displaystyle{ tr\left( 3I ^{T}-2A \right) = ........}\), ponieważ...
Wynik wyszedł mi -9, czy to jest dobrze? I czy ktoś orientuje się o co chodzi z tym "ponieważ"? Mam po prostu tam napisać jak do tego doszedłem pewnie tak?

[Lorek]

A czy forma \(\displaystyle{ X=B\left( A+2A\right) +3BA}\) nie jest dobra?

Przejście \(\displaystyle{ BA+2BA=B(A+2A)}\) jest prawidłowe, choć mało konstruktywne. Pytanie skąd się wzięło to dalsze \(\displaystyle{ 3BA}\)?

Wynik wyszedł mi -9, czy to jest dobrze? I czy ktoś orientuje się o co chodzi z tym "ponieważ"? Mam po prostu tam napisać jak do tego doszedłem pewnie tak?

Tak, przy czym odpowiedź "bo wyliczyłem" chyba nie będzie dobrą odpowiedzią, prędzej trzeba tu opisać własności śladu macierzy ułatwiające obliczanie.

[KoD997]

Co do pierwszego to ważne jest chyba, żeby było X=... bo w dalszej części zadania mam policzyć właśnie macierz X ale najpierw mam możliwie najlepiej uprościć podane na samym początku wyrażenie.

Hmm czyli wystarczy w tym przypadku zapisać coś takiego:
\(\displaystyle{ ... = 3trI-2trA=9-18=-9}\), tak?-- 17 cze 2012, o 16:27 --A ten przykład?
\(\displaystyle{ det\left( 2\left( AA ^{T} \right) \right)}\)
Nie bardzo wiem jakie własności tu zastosować żeby mieć łatwo to policzyć (macierz jest ta sama).

[Lorek]

Hmm czyli wystarczy w tym przypadku zapisać coś takiego:
\(\displaystyle{ ... = 3trI-2trA=9-18=-9}\), tak?

obstawiałbym, że tak.

A ten przykład?
\(\displaystyle{ det\left( 2\left( AA ^{T} \right) \right)}\)
Nie bardzo wiem jakie własności tu zastosować żeby mieć łatwo to policzyć (macierz jest ta sama).

Jak wyłączasz stałą to z odpowiednią potęgą, transpozycja nie zmienia wartości wyznacznika i oczywiście tw. Cauchy'ego: wyznacznik iloczynu jest równy iloczynowi wyznaczników.

[KoD997]

Z odpowiednią potęgą? Nie czaję...
Zrobiłem "po swojemu" i wynik mi wyszedł = 96. Zrobiłem to w ten sposób:
\(\displaystyle{ 2detA*2detA=4detA}\)
Ale znając życie pewnie wszystko źle...

[Lorek]

\(\displaystyle{ \det cA=c^n\det A}\) gdzie \(\displaystyle{ n}\) - stopień \(\displaystyle{ A}\).

[KoD997]

O rany pogubiłem się. \(\displaystyle{ c}\) to w moim przypadku \(\displaystyle{ 2}\) które na początku stoi po \(\displaystyle{ det}\)? A to \(\displaystyle{ n}\) to w moim przypadku \(\displaystyle{ 2}\) wynikające z \(\displaystyle{ A*A=A ^{2}}\)?

[Lorek]

Jak to jest ta macierz co wcześniej, to \(\displaystyle{ n=3}\) bo masz macierz \(\displaystyle{ 3\times 3}\).