Witam. Nie mam pomyslu na udowodnienie tych zadań
1. Czy prawdziwa jest implikacja:
Jeżeli wektory
\(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, v_{3}}\) sa liniowo niezależne, to wektory \(\displaystyle{ v_{1} , v_{2}}\) sa liniowo niezalezne. Odpowiedz uzasadnij.
2. wektory \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}}\)} sa liniowo niezaleznymi wektorami przestrzeni V nad R. Zbadaj liniową niezależnosc wektorow
\(\displaystyle{ v_{1} + v_{2}, v_{2} - v_{3}, x_{1} + v_{3} v_{3}}\)
Liniowa niezależnośc wektorów
- MichalPWr
- Użytkownik
- Posty: 1625
- Rejestracja: 29 wrz 2010, o 15:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 387 razy
Liniowa niezależnośc wektorów
1. Jest prawdziwa.
\(\displaystyle{ \alpha \cdot \vec{v _{1} }+ \beta \cdot \vec{v _{2} }+0 \cdot \vec{v _{3} }= \vec{0}}\)
Z liniowej niezależności tych wektorów wynika, że \(\displaystyle{ \alpha = \beta =0}\) Czyli nasze wektory \(\displaystyle{ \vec{v _{1} },\vec{v _{2} }}\) są liniowo niezależne.
2. Na pewno dobrze przepisałeś?
\(\displaystyle{ \alpha \cdot \vec{v _{1} }+ \beta \cdot \vec{v _{2} }+0 \cdot \vec{v _{3} }= \vec{0}}\)
Z liniowej niezależności tych wektorów wynika, że \(\displaystyle{ \alpha = \beta =0}\) Czyli nasze wektory \(\displaystyle{ \vec{v _{1} },\vec{v _{2} }}\) są liniowo niezależne.
2. Na pewno dobrze przepisałeś?
-
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 16 cze 2012, o 13:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 4 razy
Liniowa niezależnośc wektorów
Rzeczywiście w 2 powinno byc \(\displaystyle{ v_{1} + v_{2}, v_{2} - v_{3}, v_{1} + v_{3}}\)
- MichalPWr
- Użytkownik
- Posty: 1625
- Rejestracja: 29 wrz 2010, o 15:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Leszno
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 387 razy
Liniowa niezależnośc wektorów
2.
\(\displaystyle{ \alpha \left( \vec{v _{1} }+\vec{v _{2} } \right) + \beta \left( \vec{v _{2}} -\vec{v _{3} }}\right)+\gamma \left( \vec{v _{1} }+\vec{v _{3} }\right)= \vec{0}}\)
\(\displaystyle{ \vec{v _{1} }\left( \alpha +\gamma \right) +\vec{v _{2} }\left( \alpha + \beta \right)+\vec{v _{3} }\left( \gamma - \beta \right) = \vec{0}}\)
Teraz trzeba rozwiązać taki układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha +\gamma=0 \\\alpha + \beta=0\\\gamma - \beta=0 \end{cases}}\)
Po rozwiązaniu wyjdzie, że są liniowo zależne.
\(\displaystyle{ \alpha \left( \vec{v _{1} }+\vec{v _{2} } \right) + \beta \left( \vec{v _{2}} -\vec{v _{3} }}\right)+\gamma \left( \vec{v _{1} }+\vec{v _{3} }\right)= \vec{0}}\)
\(\displaystyle{ \vec{v _{1} }\left( \alpha +\gamma \right) +\vec{v _{2} }\left( \alpha + \beta \right)+\vec{v _{3} }\left( \gamma - \beta \right) = \vec{0}}\)
Teraz trzeba rozwiązać taki układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha +\gamma=0 \\\alpha + \beta=0\\\gamma - \beta=0 \end{cases}}\)
Po rozwiązaniu wyjdzie, że są liniowo zależne.