Liniowa niezależnośc wektorów

[stoper11]

Witam. Nie mam pomyslu na udowodnienie tych zadań
1. Czy prawdziwa jest implikacja:
Jeżeli wektory
\(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, v_{3}}\) sa liniowo niezależne, to wektory \(\displaystyle{ v_{1} , v_{2}}\) sa liniowo niezalezne. Odpowiedz uzasadnij.
2. wektory \(\displaystyle{ v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}}\)} sa liniowo niezaleznymi wektorami przestrzeni V nad R. Zbadaj liniową niezależnosc wektorow
\(\displaystyle{ v_{1} + v_{2}, v_{2} - v_{3}, x_{1} + v_{3} v_{3}}\)

[MichalPWr]

1. Jest prawdziwa.

\(\displaystyle{ \alpha \cdot \vec{v _{1} }+ \beta \cdot \vec{v _{2} }+0 \cdot \vec{v _{3} }= \vec{0}}\)

Z liniowej niezależności tych wektorów wynika, że \(\displaystyle{ \alpha = \beta =0}\) Czyli nasze wektory \(\displaystyle{ \vec{v _{1} },\vec{v _{2} }}\) są liniowo niezależne.

2. Na pewno dobrze przepisałeś?

[stoper11]

Rzeczywiście w 2 powinno byc \(\displaystyle{ v_{1} + v_{2}, v_{2} - v_{3}, v_{1} + v_{3}}\)

[MichalPWr]

2.
\(\displaystyle{ \alpha \left( \vec{v _{1} }+\vec{v _{2} } \right) + \beta \left( \vec{v _{2}} -\vec{v _{3} }}\right)+\gamma \left( \vec{v _{1} }+\vec{v _{3} }\right)= \vec{0}}\)

\(\displaystyle{ \vec{v _{1} }\left( \alpha +\gamma \right) +\vec{v _{2} }\left( \alpha + \beta \right)+\vec{v _{3} }\left( \gamma - \beta \right) = \vec{0}}\)

Teraz trzeba rozwiązać taki układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} \alpha +\gamma=0 \\\alpha + \beta=0\\\gamma - \beta=0 \end{cases}}\)

Po rozwiązaniu wyjdzie, że są liniowo zależne.

[stoper11]

Acha dzieki wielkie