maksymalna podprzestrzeń przestrzeni

[Ikslawok]

Witam,
zwracam się z prośbą o pomoc w zadaniu, które nie mogę zrobić od dłuższego czasu. Mam jednak mało czasu na jego zrobienie. Czy znalazłby się ktoś kto mógłby mi pomóc je rozwiązać?

Niech \(\displaystyle{ V}\) będzie przestrzenią liniową nad \(\displaystyle{ K}\) oraz niech \(\displaystyle{ f\colon V \rightarrow K}\) odwzorowaniem liniowym nad \(\displaystyle{ K}\). Oznaczmy \(\displaystyle{ U=ker f}\). Pokaż, że \(\displaystyle{ U}\) jest maksymalną podprzestrzenią przestrzeni \(\displaystyle{ V}\), tzn.
\(\displaystyle{ \forall U-podprzestrzen :U \subset U', U \neq U' \Rightarrow U'=V}\)

Pokaż, że \(\displaystyle{ U \oplus <a>=V}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ a \notin U}\)
(\(\displaystyle{ \oplus}\) oznacza sumę prostą)

Byłbym wdzięczny za każda wskazówkę.

[Ein]

Niech \(\displaystyle{ u,v\in V\setminus\text{ker}(f)}\) będą takimi wektorami, że \(\displaystyle{ u\not\in\text{span}(v,\text{ker}(f))}\). Rozważ wektor \(\displaystyle{ f(v)u-f(u)v}\). Czy należy on do \(\displaystyle{ \text{ker}(f)}\)? Jeśli tak, to co z tego wynika?

***

Przypadek, gdy \(\displaystyle{ V}\) jest skończenie wymiarowa, można również rozważyć korzystając z tw. o indeksie (rank-null identity).

[Ikslawok]

Myślę ,że tak wektor ten należy do jądra tego funkcjonału, ale siedzę już dosyć długo nad tym i nadal nie mogę zrozumieć co z tego wynika.

[Ein]

Skoro \(\displaystyle{ w:=f(v)u-f(u)v\in\text{ker}(f)}\), to \(\displaystyle{ \frac{1}{f(v)}(w+f(u)v)=u\in\text{ker}(f)}\). Sprzeczność.