Jądra i obraz

[mariusz689]

Znalazłem takie zadanie w zbiorze Skoczylasa, Algebra 2, zadania strona 78. Przykład 8,6 b i c

B) \(\displaystyle{ L: R^3 \rightarrow R^4, L(x,y,z)=(2x-y-z, x+y+4z , 2x+y+5z , -x-z)}\)


C) \(\displaystyle{ L: R^4 \rightarrow R^3, L(x,y,z,t)=(x+2z+t,-2x+y-3z-5t,x-y+z+4t)}\)

Licząc Ker to po prostu przyrównujemy do zera w b. np 2x-y-z=0 ...

Lecz mnie zastanawia rozwiązanie bo w pierwszy przykładzie mamy
\(\displaystyle{ ImL=\left\{ (2,1,2,-1),(-1,1,1,0),(-1,4,5,-1)\right\}}\) i to wpisujemy do macierzy że mamy macierz 3x4, tak że wpisujemy je poziomo a w przykładzie c) wektory z "lin" Wpisujemy pionowo, dlaczego raz wpisujemy pionowo te wektory a raz poziomo ?

[Marmat]

Do macierzy zawsze wpisujemy pionowo.
W przykładzie a szukamy macierzy w bazach kanonicznych.
L(1,0,0)=(2,1,2,-1)=2*(1,0,0,0)+1*(0,1,0,0)+2*(0,0,1,0)+(-1)*(0,0,0,1)=2*e1+1*e2+2*e3-1*e4.
Współczynniki tworzą pierwszą kolumnę macierzy. Analogicznie:
L(0,1,0)=(-1,1,1,0)=-1e1+1e2+1e3+0e4, drugą kolumnę
L(0,0,1)=(-1,4,5,-1)=(-1e1+4e2+5e3-1e4. trzecią kolumnę
Macierz wygląda tak:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array} {ccc}2&-1&-1\\1&1&4\\2&1&5\\-1&0&-1\end{array}\right]}\)
W następnym przykładzie:
L(1,0,0,0)=(1,-2,1) i te liczby tworzą pierwszą kolumnę
I tak dalej. Macierz wygląda tak:
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array} {cccc}1&0&2&1\\-2&1&-3&-5\\1&-1&1&4\end{array}\right]}\)
Mam nadzieję, że trochę wyjaśniłem. Pozdrawiam.