Jądro i obraz part 2

[peeters027]

Wyznaczyć \(\displaystyle{ Ker (T)}\) oraz \(\displaystyle{ Im (T)}\) oraz ich bazy dla przekształcenia liniowego
\(\displaystyle{ T:R_{3}[x] \to R_{3}[x]}\) zadanego na bazie standardowej następująco:

\(\displaystyle{ T(1)=1, T(x)=1+x, T(x^{2})=x+x^{2}, T(x^{3})=x-x^{2}}\)
Rozwiązanie przeprowadzić w przestrzeni wielomianów.

[Majeskas]

\(\displaystyle{ T(ax^3+bx^2+cx+d)=aT(x^3)+bT(x^2)+cT(x)+dT(1)=\\\\=ax-ax^2+bx^2+bx+cx+c+d=(b-a)x^2+(a+b+c)x+c+d}\)

\(\displaystyle{ ax^3+bx^2+cx+d=f(x)\in\ker T\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} b-a=0 \\ a+b+c=0\\c+d=0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} b=a \\ c=-2a\\d=2a \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \ker T=\left\{ f\in\mathbb{R}_3[x]:\ f(x)=tx^3+tx^2-2tx+2t\right\}}\)

\(\displaystyle{ \textup{im}\,T=\mathbb{R}_2[x]}\)

[peeters027]

i znowu wielkie dzięki ! z tym, że w rozwiązaniu wkradł się drobny błąd. Pominąłeś parametr c w pewnym momencie

a dlaczego \(\displaystyle{ Im T= R_{2}[x]}\)

[Majeskas]

Zawieranie \(\displaystyle{ \textup{im}\,T\subset\mathbb{R}_2[x]}\) jest oczywiste. Zawieranie przeciwne pokażę w ten sposób, że dla dowolnego wielomianu \(\displaystyle{ px^2+qx+r}\) znajdę jego przeciwobraz przy przekształceniu \(\displaystyle{ T}\) w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{R}_3[x]}\).

\(\displaystyle{ \begin{cases} b-a=p \\ a+b+c=q\\ c+d=r\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} b=a+p \\ 2a+p+c=q \\d=r-c\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} b=a+p \\ c=q-p-2a \\d=r-q+p+2a\end{cases}}\)

W takim razie \(\displaystyle{ T(f)=px^2+qx+r}\) dla dowolnego wielomianu postaci \(\displaystyle{ f(x)=tx^3+(t+p)x^2+(q-p-2t)x+r-q+p+2t}\), gdzie \(\displaystyle{ t\in\mathbb{R}}\). Czyli istotnie przekształcenie \(\displaystyle{ T}\) jest "na" \(\displaystyle{ \mathbb{R}_2[x]}\).

i znowu wielkie dzięki ! z tym, że w rozwiązaniu wkradł się drobny błąd. Pominąłeś parametr c w pewnym momencie

To znaczy w którym?

[peeters027]

"\(\displaystyle{ ax-ax^{2}+bx^{2}+bx+cx+c+d=(b-a)x^{2}+(a+b+c)x+d}\)"
na końcu powinno być \(\displaystyle{ c+d}\), prawda?

[Majeskas]

Zgadza się. Poprawiłem rachunki.