Jądro i obraz

[peeters027]

Wyznaczyc \(\displaystyle{ Ker \left( T \right)}\) oraz \(\displaystyle{ Im \left( T \right)}\) oraz ich bazy dla przekszatlcenia liniowego \(\displaystyle{ \left( T \left( f \right) \right) \left( x \right) =2xf ' \left( x \right) - x^2f '' \left( x \right)}\)w przestrzeni \(\displaystyle{ R^3 \left[ x \right]}\) . Rozwiazanie przeprowadzic w przestrzeni wielomianow.

[Majeskas]

\(\displaystyle{ \mathbb{R}_3[x]}\) to przestrzeń wielomianów stopnia co najwyżej 3?

[peeters027]

tak.

[Majeskas]

\(\displaystyle{ T(f(x))=T(ax^3+bx^2+cx+d)=2x(3ax^2+2bx+c)-x^2(6ax+2b)=2bx^2+2cx}\)

Zatem \(\displaystyle{ T\colon\mathbb{R}_3[x]\to\mathbb{R}_2[x]}\)

\(\displaystyle{ \ker T=\left\{ f:\ T(f)\equiv0\right\}=\left\{ f:\ 2bx^2+2cx\equiv0\right\}=\left\{ f:\ f(x)=ax^3+d\right\}}\)

\(\displaystyle{ \textup{im}\, T=\left\{ f(T):\ f\in\mathbb{R}_3[x]\right\}=\left\{ g:\ g(x)=ux^2+vx\right\}}\)

-- 13 czerwca 2012, 14:08 --

Baza \(\displaystyle{ \ker T}\) to np. \(\displaystyle{ \left\{ 1,x^3\right\}}\), a \(\displaystyle{ \textup{im}\,T}\) \(\displaystyle{ \left\{ x,x^2\right\}}\).

[peeters027]

dzieki wielkie ! -- 13 cze 2012, o 16:40 --Mam jeszcze jedno zadanko, które sprawia mi małe trudności, a mianowicie:

Wyznaczyć \(\displaystyle{ Ker (T)}\) oraz \(\displaystyle{ Im (T)}\) oraz ich bazy dla przekształcenia liniowego
\(\displaystyle{ T:R_{3}[x] \to R_{3}[x]}\) zadanego na bazie standardowej następująco:

\(\displaystyle{ T(1)=1, T(x)=1+x, T(x^{2})=x+x^{2}, T(x^{3})=x-x^{2}}\)
Rozwiązanie przeprowadzić w przestrzeni wielomianów.