macierz ortogonalna
-
Agniezcka
- Użytkownik
- Posty: 153
- Rejestracja: 15 kwie 2012, o 19:40
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 2 razy
macierz ortogonalna
Znając macierz A znaleźć ortogonalną macierz P taką że \(\displaystyle{ P ^{T}AP}\) jest macierzą diagonalną. Jaki jest schemat takiego zadania?
-
fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
macierz ortogonalna
Żeby znaleźć taką macierz ortogonalną \(\displaystyle{ P}\) nasza wyjściowa macierz musi być symetryczna. Łatwo to pokazać. Trudniej pokazać, że każda macierz symetryczna jest diagonalizowalna.
Jak wyznaczyć tą macierz? Mamy \(\displaystyle{ P^T A P=diag(\lambda_1,\ldots ,\lambda_n)}\). Stąd \(\displaystyle{ A P=P\ diag(\lambda_1,\ldots ,\lambda_n).}\) Oznaczając przez \(\displaystyle{ x_1}\) pierwszą kolumnę macierzy \(\displaystyle{ P}\) mamy
\(\displaystyle{ A x_1=\lambda_1 x_1.}\)
Analogicznie dla reszty kolumn. Jak widać dostajemy warunek na wartości i wektory własne macierzy \(\displaystyle{ A.}\)
Jak wyznaczyć tą macierz? Mamy \(\displaystyle{ P^T A P=diag(\lambda_1,\ldots ,\lambda_n)}\). Stąd \(\displaystyle{ A P=P\ diag(\lambda_1,\ldots ,\lambda_n).}\) Oznaczając przez \(\displaystyle{ x_1}\) pierwszą kolumnę macierzy \(\displaystyle{ P}\) mamy
\(\displaystyle{ A x_1=\lambda_1 x_1.}\)
Analogicznie dla reszty kolumn. Jak widać dostajemy warunek na wartości i wektory własne macierzy \(\displaystyle{ A.}\)