Macierze i wyznaczniki

[edu91]

Witam wszystkich, jako nowy użytkownik forum Kieruję do Was prośbę z rozwiązaniem kilku zadań.
1. Macierz H jest pierwiastkiem równania
\(\displaystyle{ X+ \left( \left[\begin{array}{ccc}1&0&1\\1&1&1\end{array}\right]\ - \left[\begin{array}{ccc}1&1&0\\-1&1&1\end{array}\right]\right) \cdot \left[\begin{array}{ccc}-3&3&-1\\0&-1&-1\end{array}\right]^{T}= \frac{1}{4} \cdot \left[\begin{array}{cc}-1&-1\\2&-2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}2&-1\\2&1\end{array}\right] \cdot \cdot X}\)

Jaka jest różnica między macierzą X a macierzą jednostkową?

2. Dane jest równanie macierzowe
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\2&2&3\end{array}\right]\ \cdot \left[\begin{array}{ccc}4&2&-3\\-1&-4&4\end{array}\right]^{T} \cdot M+2 \cdot \left[\begin{array}{cc}1&1\\2&-3\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}2&8\\-5&-6\end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc}1&2\\1&2\\1&3\end{array}\right]^{T} \cdot \left[\begin{array}{cc}-5&-1\\2&-1\\3&1\end{array}\right] \cdot M}\)
Wyznaczyć Macierz M. Czy macierz M jest diagonalna? Uzasadnić odpowiedź.

3. Dany jest wyznacznik:
\(\displaystyle{ W=\left|\begin{array}{cccc}1&2&3&6\\x&-y&-z&-2\\5x&3y&2z&-3\\-x&y&4z&5\end{array}\right|}\)
Ile powinno wynosić z, jeśli wiadomo, że W=-W?

4. Macierz H jest pierwiastkiem równania
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}2&-1\\-1&-2\\2&2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cc}1&-1\\-1&-2\\1&0\end{array}\right]^{T} \cdot H- \left( \left[\begin{array}{cc}6&1\\-2&0\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\0&3&2\end{array}\right]\right) ^{T}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&-1\\0&3&2\end{array}\right]^{T} \cdot \left[\begin{array}{cc}2&-1\\-5&2\\-1&1\end{array}\right]+\left(H^{T} \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&1&0\\0&4&-6\\2&-1&1\end{array}\right]\right)^{T}}\)

Czy \(\displaystyle{ H^{T} \cdot \left[\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right] = \left[\begin{array}{c}1\\0\\-1\end{array}\right]}\) jest układem Cramera?

Dziękuję z góry i pozdrawiam

[Majeskas]

W czym konkretnie jest problem?

[edu91]

Problem to raczej moje zaległości i nieporadność. Tak jak 2 temacie. Dlatego proszę o rozwiązanie i możliwe wytłumaczenie.

[Majeskas]

1. Umiesz mnożyć macierze? Jeśli tak, to przemnóż wszystko tak, żeby mieć równanie postaci \(\displaystyle{ A=BX}\).

[edu91]

1. Umiesz mnożyć macierze? Jeśli tak, to przemnóż wszystko tak, żeby mieć równanie postaci \(\displaystyle{ A=BX}\).

No tak, pomnożyłem macierze, jednak dopiero teraz zauważyłem, że pominąłem X na początku zadania. Czy zmienia to jakoś postać rzeczy?

\(\displaystyle{ X+ \left[\begin{array}{cc}-4&2\\4&-2\end{array}\right]\ = \left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}\right] \cdot X}\)

edytuję, bo coś pomieszałem.

[Majeskas]

No zmienia o tyle, że mamy inne równanie. Ale wciąż do rozwiązania. Dobra, zakładam, że dobrze przemnożyłeś macierze. Teraz takie coś rozwiązuje się z grubsza tak jak równanie liniowe na liczbach, z tą różnicą, że mnożenie macierzy nie jest przemienne.

\(\displaystyle{ X-\left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}\right]\cdot X=-\left[\begin{array}{cc}-4&0\\4&2\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ \bigg(\underbrace{I-\left[\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}\right]}_{=A}\bigg)\cdot X=\left[\begin{array}{cc}4&0\\-4&-2\end{array}\right]}\)

Jeśli macierz \(\displaystyle{ A}\) jest nieosobliwa, to rozwiązanie istnieje i dostaniemy je mnożąc obie strony z lewej przez \(\displaystyle{ A^{-1}}\):

\(\displaystyle{ X=A^{-1}\cdot\left[\begin{array}{cc}4&0\\-4&-2\end{array}\right]}\)