Wektory własne macierzy symetrycznej

[Shea]

Wektory \(\displaystyle{ \left( 1,1,1\right)}\) i \(\displaystyle{ \left( 1,1,0\right)}\) są wektorami własnymi pewnej macierzy symetrycznej o wyrazach rzeczywistych rozmiaru \(\displaystyle{ 3 \times 3}\). Czy wynika stąd, że wektorem własnym tej macierzy jest również wektor \(\displaystyle{ \left( 2,2,1\right)}\)?

Wiem, że wektor ten jest kombinacją liniową powyższych wektorów własnych, ale czy to już wystarczy, żeby on również był wektorem własnym? I czy ma znaczenie to, że jest to macierz symetryczna?

[Majeskas]

Nie wystarczy.

-- 12 czerwca 2012, 18:56 --

Z faktu, że \(\displaystyle{ \varphi(\alpha)=a\alpha}\) i \(\displaystyle{ \varphi(\beta)=b\beta}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\neq0}\) nie wynika, że istnieje \(\displaystyle{ c\neq0}\) takie, że \(\displaystyle{ \varphi(a\alpha+b\beta)=c(a\alpha+b\beta)}\).-- 12 czerwca 2012, 18:58 --Co do pytania o macierz symetryczną, to z tego wynika, że jest diagonalizowalna nad \(\displaystyle{ \mathbb{R}}\).

[Shea]

Czy mógłbyś mnie w takim razie naprowadzić - co powinnam sprawdzić, żeby dowiedzieć się, że jest to wektor własny (bo według odpowiedzi - jest).

[Majeskas]

W polecenie jest powiedziane, że to jakaś macierz rozmiaru \(\displaystyle{ 3\times3}\), tak? Nikt nie podał jaka konkretnie?-- 12 czerwca 2012, 19:28 --\(\displaystyle{ \alpha}\) jest wektorem własnym macierzy \(\displaystyle{ A}\), jeśli istnieje takie \(\displaystyle{ a\neq0}\), że \(\displaystyle{ \varphi(\alpha)=a\alpha}\), gdzie \(\displaystyle{ \varphi}\) jest endomorfizmem, który ma w bazie standardowej macierz \(\displaystyle{ A}\).