Dzieńdoby,
Funkcjonał dwuliniowy w bazie kanonicznej jest zadany macierzą:
\(\displaystyle{ A = \[ \left[ \begin{array}{cccc}
1 & 2 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 2 & 0 \\
0 & 2 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 2 & 1 \end{array} \right]\]}\)
Niech V będzie podprzestrzenią tej przestrzeni generowaną przez (1,0,0,0), (0,1,0,0).
Znajdź bazę podprzestrzeni prostopadłej.
Robię tak:
\(\displaystyle{ \[ \left[ \begin{array}{ccccc}
x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\
\end{array} \right]\] \cdot A \cdot \[ \left[ \begin{array}{cccc}
y_1 \\
y_2 \\
y_3 \\
y_4
\end{array} \right]\] = 0}\)
\(\displaystyle{ \[ \left[ \begin{array}{ccccc}
x_1 + 2x_2 & 2x_1 + x_2 + 2x_3 & 2x_2+x_3+2x_4 & 2x_3+x_4 \\
\end{array} \right]\]
\cdot
\[ \left[ \begin{array}{cccc}
y_1 \\
y_2 \\
y_3 \\
y_4
\end{array} \right]\] = 0}\)
Podstawiam za \(\displaystyle{ y_1 , y_2, y_3, y_4}\) \(\displaystyle{ [1,0,0,0]}\) i \(\displaystyle{ [0,1,0,0]}\) i otrzymuję układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 0 \\ 2x_1+x_2+2x_3 = 0 \end{cases}}\)
Po rozwiązaniu, wektor bazowy jest postaci:
\(\displaystyle{ x_3 \[ \left[ \begin{array}{ccc}
- \frac{4}{3} \\
\frac{2}{3} \\
1
\end{array} \right]\]}\)
Problem w tym, że to jest chyba źle i nie wiem czemu.