Znajdź wartości własne i wektory własne

[EverydayNormalGuy]

Znajdź wartości własne i wektory własne przekształcenia \(\displaystyle{ R^2 \rightarrow R^2}\)

\(\displaystyle{ f[x,y] = [ 8x - 3y, 18x - 7y ]}\)

odp: \(\displaystyle{ 2 \cdot [1,2], \ \ (-1) \cdot [1,3]}\)

[lukaszm89]

PRzekształcenie liniowe można utożsamiać z pewną macierzą. Jaka będzie jej postać w tym przypadku(przy bazach standardowych)?

[EverydayNormalGuy]

Obstawiam, że:

\(\displaystyle{ W=\begin{vmatrix} 8-\lambda&-3\\18&-7-\lambda\end{vmatrix}=0}\) Wyliczam w ten sposób lambdę, tak? Jeśli tak to cóż czynić dalej?

[octahedron]

Z definicji wartości i wektora własnego:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 8&-3\\18&-7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\)

czyli dla \(\displaystyle{ \lambda_1=-1}\):

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 8&-3\\18&-7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=-1\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix} \Rightarrow \begin{cases}8x-3y=-x\\18x-7y=-y\end{cases} \Rightarrow y=3x \Rightarrow \vec{v}_{1}=\begin{bmatrix}1\\3\end{bmatrix}}\)

i dla \(\displaystyle{ \lambda_2=2}\) analogicznie

[EverydayNormalGuy]

A to co tam na początku wymyśliłem na obliczenie lambdy jest ok?

[MichalPWr]

Tak.