Podaj przykład przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ f : R ^{4} \rightarrow R ^{4}}\) takiego, że:
\(\displaystyle{ Im\left( f\right) = Ker\left( f\right) = L\left( \left[ 1,1,0,0\right],\left[ 0,0,1,2\right] \right)}\)
odp: np \(\displaystyle{ f[ x _{1} ,x _{2},x _{3},x _{4} ] = [ x _{1}-x _{2}, x _{1}-x _{2}, x _{4}-2x _{3},2x _{4}-4x _{3} ]}\)
Przykład przekształcenia liniowego-Ker,Im
-
EverydayNormalGuy
- Użytkownik
- Posty: 8
- Rejestracja: 9 cze 2012, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 7 razy
-
octahedron
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Przykład przekształcenia liniowego-Ker,Im
Z warunków zadania wynika, że musi być:
\(\displaystyle{ Im(f)=L([1,1,0,0],[0,0,1,2])=\alpha[1,1,0,0]+\beta[0,0,1,2]=[\alpha,\alpha,\beta,2\beta]}\)
czyli \(\displaystyle{ f[x_1,x_2,x_3,x_4]=[y_1,y_1,y_3,2y_3]}\)
\(\displaystyle{ A_f=\big[ a_{ij}\big]_{4\times 4}\\\\
\begin{cases}y_1=y_2 \Rightarrow a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+a_{14}x_4=a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+a_{24}x_4\\y_4=2y_3 \Rightarrow 2\left( a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+a_{34}x_4\right) =a_{41}x_1+a_{42}x_2+a_{43}x_3+a_{44}x_4\end{cases}\\\\
\begin{cases}\left( a_{11}-a_{21}\right) x_1+\left( a_{12}-a_{22}\right) x_2+\left( a_{13}-a_{23}\right) x_3+\left( a_{14}-a_{24}\right) x_4=0\\\begin{case}\left( 2a_{31}-a_{41}\right) x_1+\left( 2a_{32}-a_{42}\right) x_2+\left( 2a_{33}-a_{43}\right) x_3+\left( 2a_{34}-a_{44}\right) x_4=0\end{cases}\\\\}\)
Musi to zachodzić dla dowolnych \(\displaystyle{ [x_1,x_2,x_3,x_4]}\), czyli wyrażenia w nawiasach muszą być zerami, stąd
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_{1i}=a_{2i}\\2a_{3i}=a_{4i}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ Ker(f)=Im(f) \Rightarrow f[\alpha,\alpha,\beta,2\beta]=[0,0,0,0]\\\\
\begin{cases}\left( a_{11}+a_{12}\right) \alpha+\left( a_{13}+2a_{14}\right)\beta=0\\\left( a_{31}+a_{32}\right) \alpha+\left( a_{33}+2a_{34}\right)\beta=0 \end{cases}}\)
To musi być spełnione dla każdych \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\), stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_{11}=-a_{12}\\a_{13}=-2a_{14}\\a_{31}=-a_{32}\\a_{33}=-2a_{34}\end{cases}}\)
czyli macierz przekształcenia spełniającego warunki zadania wygląda tak:
\(\displaystyle{ A_f=\begin{bmatrix}a&-a&-2b&b\\a&-a&-2b&b\\c&-c&-2d&d\\2c&-2c&-4d&2d\end{bmatrix},\quad a,b,c,d\in R}\)
\(\displaystyle{ Im(f)=L([1,1,0,0],[0,0,1,2])=\alpha[1,1,0,0]+\beta[0,0,1,2]=[\alpha,\alpha,\beta,2\beta]}\)
czyli \(\displaystyle{ f[x_1,x_2,x_3,x_4]=[y_1,y_1,y_3,2y_3]}\)
\(\displaystyle{ A_f=\big[ a_{ij}\big]_{4\times 4}\\\\
\begin{cases}y_1=y_2 \Rightarrow a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+a_{14}x_4=a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+a_{24}x_4\\y_4=2y_3 \Rightarrow 2\left( a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3+a_{34}x_4\right) =a_{41}x_1+a_{42}x_2+a_{43}x_3+a_{44}x_4\end{cases}\\\\
\begin{cases}\left( a_{11}-a_{21}\right) x_1+\left( a_{12}-a_{22}\right) x_2+\left( a_{13}-a_{23}\right) x_3+\left( a_{14}-a_{24}\right) x_4=0\\\begin{case}\left( 2a_{31}-a_{41}\right) x_1+\left( 2a_{32}-a_{42}\right) x_2+\left( 2a_{33}-a_{43}\right) x_3+\left( 2a_{34}-a_{44}\right) x_4=0\end{cases}\\\\}\)
Musi to zachodzić dla dowolnych \(\displaystyle{ [x_1,x_2,x_3,x_4]}\), czyli wyrażenia w nawiasach muszą być zerami, stąd
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_{1i}=a_{2i}\\2a_{3i}=a_{4i}\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ Ker(f)=Im(f) \Rightarrow f[\alpha,\alpha,\beta,2\beta]=[0,0,0,0]\\\\
\begin{cases}\left( a_{11}+a_{12}\right) \alpha+\left( a_{13}+2a_{14}\right)\beta=0\\\left( a_{31}+a_{32}\right) \alpha+\left( a_{33}+2a_{34}\right)\beta=0 \end{cases}}\)
To musi być spełnione dla każdych \(\displaystyle{ \alpha, \beta}\), stąd:
\(\displaystyle{ \begin{cases}a_{11}=-a_{12}\\a_{13}=-2a_{14}\\a_{31}=-a_{32}\\a_{33}=-2a_{34}\end{cases}}\)
czyli macierz przekształcenia spełniającego warunki zadania wygląda tak:
\(\displaystyle{ A_f=\begin{bmatrix}a&-a&-2b&b\\a&-a&-2b&b\\c&-c&-2d&d\\2c&-2c&-4d&2d\end{bmatrix},\quad a,b,c,d\in R}\)