forma kwadratowa

[22mz]

W przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\) dana jest forma kwadratowa \(\displaystyle{ f(x) = 2x_{1}^2+3x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}+x_{2}^2+x_{3}^2}\) gdzie \(\displaystyle{ x=( x_{1},x _{2},x _{3})}\). Znajdź odpowiadającą jej formę formę dwuliniową oraz macierz tej formy w bazie kanonicznej.

[johnny1591]

Proponuję metodą Lagrange'a na początek pogrupować wszystkie składniki, w których występuje dana zmienna, np. \(\displaystyle{ x _{1}}\) i wziąć to w nawias, resztę dopisując. Następnie dany nawias trzeba będzie podnieść do kwadratu i pozbyć się przy każdym składniku SŁOWNIE tej zmiennej względem której grupujesz i odpowiednio podnieść do kwadratu ustalając odpowiednie współczynniki (UZUPEŁNIASZ DO KWADRATU TO CO MASZ, a potem odejmujesz zbędne rzeczy, tak żeby wyszło to samo, co wcześniej ). Na początku spróbuj sam to zrobić !

UWAGA!
W nawiasie będzie składnik \(\displaystyle{ 2x _{1} ^{2}}\) i pozbywasz się tej zmiennej w sposób taki, że obniżasz potęgę o 1 stopień i ustalasz odpowiedni współczynnik. Trochę łopatologicznie to napisałem, ale godzina późna