iloczyn skalarny

[Flecik91]

Utknęłam na (chyba) niezbyt trudnym zadaniu
Studiuję w niemczech więc jeśli coś z mojego tłumaczenia będzie niezrozumiałe to proszę o wyrozumiałość

Za zadanie mam udowodnić, że
\(\displaystyle{ \left\langle p,x\right\rangle=p\left( 0\right) \cdot q\left( 0\right)+p\left( 1\right) \cdot q\left( 1\right)+p\left( 2\right) \cdot q\left( 2\right)}\)
jest iloczynem skalarnym, gdzie:
\(\displaystyle{ p\left( x\right)= a _{0} x^{2} +a _{1} x +a_{2}}\)
\(\displaystyle{ q\left( x\right)=b _{0} x^{2} +b _{1} x +b_{2}}\)

No więc moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ p\left( 0\right)=a_{2}}\)
\(\displaystyle{ p\left( 1\right)=a_{0}+a_{1}+a_{2}}\)
\(\displaystyle{ p\left( 2\right)=4a_{0}+2a_{1}+a_{2}}\)

i podobnie dla \(\displaystyle{ q(x)}\)

więc po przeliczeniu wychodzi mi
\(\displaystyle{ \left\langle p,q\right\rangle=a_{0}\left( 17b_{0}+9b_{1}+5b_{2}\right)+a_{1}\left( 9b_{0}+5b_{1}+3b_{2}\right)+a_{2}\left( 5b_{0}+3b_{1}+3b_{2}\right)}\)

Pierwsze co musiałam udowodnić to:
\(\displaystyle{ \left\langle p,q\right\rangle=\left\langle q,p\right\rangle}\)
i to poszło bez problemu
Następne:
\(\displaystyle{ \left\langle p,p\right\rangle \ge 0}\) i
\(\displaystyle{ \left\langle p,p\right\rangle=0}\) tylko jeśli \(\displaystyle{ p=0}\)

nie poszło mi wogóle, niby jest to oczywiste jak na to patrze, ale nie potrafię tego udowodnić :/ \(\displaystyle{ \left\langle p,p\right\rangle=17a_{0} ^{2} +5a_{1}^{2}+3a_{2}^{2}+18a_{0}a_{1}+10a_{0}a_{2}+6a_{1}a_{2}}\)

liczę na waszą pomoc

[Qń]

Wskazówka:
\(\displaystyle{ \left\langle p,p\right\rangle=p(0)^2+p(1)^2+p(2)^2}\)
W tej postaci będzie Ci łatwiej.

Q.

[Flecik91]

Heh, no wiedziałam, że to jest banalne ;p no tak kwadraty są zawsze większe od zera.

Dzięki wielkie za olśnienie