Ślad macierzy kwadratowej

[syla6667]

Śladem macierzy kwadratowej \(\displaystyle{ A}\) nazywamy sumę jej elementów diagonalnych i oznaczamy \(\displaystyle{ Tr\ A}\),tj.
\(\displaystyle{ Tr\ A=\sum_{i=1}^{n} a_{ii}}\), gdzie \(\displaystyle{ A=(a _{ij} )}\)
Udowodnij, że:
a) \(\displaystyle{ Tr\ ABC=Tr\ CAB=Tr\ BCA}\),
b) jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą hermitowską, to \(\displaystyle{ Tr\ A=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i}}\), gdzie \(\displaystyle{ \lambda_{i}}\) to wartości własne macierzy \(\displaystyle{ A}\).

[smigol]

a.d. a)
Pokaż, że \(\displaystyle{ trXY =trYX}\) dla dowolnych macierzy kwadratowych o tej samej ilości kolumn.

[syla6667]

Ok, dla dwóch umie.
\(\displaystyle{ Tr(AB)= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a _{ij} b _{ji}= \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{n} b _{ji}a _{ij} =Tr(BA)}\)



A dla trzech tak mam podpisać:
\(\displaystyle{ Tr(ABC)= \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} a _{ij} b _{ji} c _{ki} ?}\)

[Ein]

Dla trzech skorzystaj z łączności mnożenia macierzy.

Wskazówka do 2: jeżeli macierz jest hermitowska, to się diagonalizuje w pewnej bazie -- zapisz tę macierz w tej bazie i skorzystaj z punktu 1.

[syla6667]

A więc wystarczy tylko tak zapisać:

\(\displaystyle{ TrABC=Tr(AB)C=TrC(AB)=TrCAB=Tr(CA)B=TrB(CA)=TrBCA}\)

[Ein]

Tak.