Liniowa niezależność funkcji

tomazoo28 · Post autor: **tomazoo28** » 3 cze 2012, o 19:05

Wykazać, z użyciem wyznacznika macierzy Wrońskiego, że układ funkcji \(\displaystyle{ \left\{ x, \sin x, x^2, \sin ^2 x\right\}}\) ciągłych na \(\displaystyle{ R}\) jest liniowo niezależny.

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 3 cze 2012, o 20:39

Ułóż macierz Wrońskiego i policz jej wyznacznik

tomazoo28 · Post autor: **tomazoo28** » 3 cze 2012, o 23:40

W życiu bym nie wpadł na to. I co dalej?

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 4 cze 2012, o 08:52

Masz już policzony ten wyznacznik? Jak będzie zerowy to układ jest liniowo zależny, jak nie to nie.

tomazoo28 · Post autor: **tomazoo28** » 4 cze 2012, o 16:40

Warunek konieczny i dostateczny liniowej niezależności funkcji brzmi tak:

Funkcje \(\displaystyle{ f_1,...,f_n}\) z przestrzeni \(\displaystyle{ C(I)}\) są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy w przedziale \(\displaystyle{ I}\) istnieją różne liczby \(\displaystyle{ x_1<x_2<...<x_n}\) takie, że:

\(\displaystyle{ det\begin{bmatrix} f_1(x_1)&f_1(x_2)&...&f_1(x_n)\\f_2(x_1)&f_2(x_2)&...&f_2(x_n)\\...&...&...&...\\f_n(x_1)&f_n(x_2)&...&f_n(x_n)\end{bmatrix} \neq 0}\)

Nie potrafię wykazać, na podstawie obliczonego wyznacznika, że istnieją (bądź nie) takie \(\displaystyle{ x_1,x_2,x_3,x_4}\)

bartek118 · Post autor: **bartek118** » 4 cze 2012, o 18:37

To co podałeś to nie jest wykorzystanie macierzy Wrońskiego.
Napisz macierz Wrońskiego i policz wyznacznik, jak będzie niezerowy, to funkcje są liniowo niezależne - proste.

tomazoo28 · Post autor: **tomazoo28** » 4 cze 2012, o 19:15

Racja. Pomieszałem dwie różne rzeczy. Widzę, że trudno to wykazać na podstawie wrońskianu (nieznikanie różnych iloczynów f. trygonometrycznych). Jak można to zrobić za pomocą tego kryterium?