Rozwiązanie ogólne, szczególne i bazowe układu

[kop3k]

Witam. Mam problem z rozwiązywaniem zadań z ukladów równań liniowych.

Pierwsze zadanie z jakim mam problem to:
"Znaleźć rozwiązanie ogóle i dwa rozwiązania szczególne układu":
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} - x_{2} + 2x_{3} = -3
\\x_{2} + x_{3} = -2
\\x_{1} - 2x_{2} + x_{3} = -1 \end{cases}}\)

Wyznaczam rząd macierzy:
rzA = 2

Potem przerzucam wyrazy aby obliczyć \(\displaystyle{ x_{1} , x_{2} , x_{3}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} = -3 + x_{2} - 2x_{3}
\\x_{2} = -2 - x_{3}
\\ x_{3} = -1 - x_{1} + 2x_{2} \end{cases}}\)

Podstawiam \(\displaystyle{ x_{2} = a , x_{3} = b}\)

I rozwiązanie ogólne wychodzi mi:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}
-3 + a - 2b
\\ a
\\b
\end{bmatrix}}\) = X

Ale niestety po podstawieniu dowolnych a i b równanie się nie zgadza. Jak te parametry a i b poprawnie rozpisac żeby było poprawnie?


Drugie zadanie:
"Znaleźć dowolne rozwiązanie bazowe:"
Przykład:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1} - 2x_{2} = 1
\\2x_{2} + x_{3} = -1
\\x_{1} + x_{3} = 0 \end{cases}}\)

Tutaj wogóle nie wiem o co chodzi, ale początek jest chyba podobny, że trzeba wyznaczyć rozwiązanie ogólne, tylko nie wiem co dalej.

Z matematyki jest dobry, ale jakoś mam problemy z układami równań . Proszę tylko o rozjaśnienie umysłu, doprowadzenie mnie do właściwego tropu, a dalej już sobie poradze.

[szw1710]

Rozwiązania bazowe układu równań powstają w ten sposób: bierzemy wszystkie możliwe zestawy parametrów i wstawiamy zerowe wartości tych parametrów.

Przykład

Równanie \(\displaystyle{ x+y+z=1}\) ma trzy rozwiązania parametryczne.

1. \(\displaystyle{ z=1-x-y}\), wstawiając \(\displaystyle{ x=y=0}\) mamy \(\displaystyle{ z=1}\) i rozwiązaniem bazowym jest \(\displaystyle{ (0,0,1).}\)

2. \(\displaystyle{ y=1-x-z}\), \(\displaystyle{ x=z=0\implies y=1}\), więc drugie rozwiązanie bazowe to \(\displaystyle{ (0,1,0)}\)

3. \(\displaystyle{ x=1-y-z}\) i mamy trzecie rozwiązanie bazowe \(\displaystyle{ (1,0,0).}\)

Z twierdzenia Kroneckera-Capelli'ego wynika, że każdy zestaw możliwych parametrów zawiera tyle samo elementów.