Niech \(\displaystyle{ E=R ^{2}}\) i niech \(\displaystyle{ \left| \left| (x,y)\right| \right| = \sqrt{5x ^{2}-xy+6y ^{2} }}\) Pokaż, że jest to norma. Pokaż, że pochodzi ona od iloczynu skalarnego. Wyznacz ten iloczyn. Wyznacz jakąkolwiek bazę ortonormalną w tej przestrzeni z tym iloczynem skalarnym.
Proszę o rozwiązanie, gdyż mam mało czasu a jest to dosyć pilne.
Wydzielono z: norma, iloczyn skalarny...
-
szw1710
Wydzielono z: norma, iloczyn skalarny...
Ja nie dam rozwiązania. Wskazówkę jedynie. Norma pochodzi od iloczynu skalarnego wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunek równoległoboku.
Iloczyn skalarny to dodatnio określony funkcjonał dwuliniowy symetryczny. Na podstawie kwadratu "normy" można odgadnąć postać tego funkcjonału i sprawdzić warunki iloczynu skalarnego. Więc jeśli sprawdzimy te warunki, sprawdzenie warunku równoległoboku nie jest konieczne. Z ogólnej teorii przestrzeni unitarnych otrzymamy, że \(\displaystyle{ \|(x,y)\|=\sqrt{\langle(x,y)|(x,y)\rangle}}\) jest normą.
Mamy więc po podniesieniu do kwadratu:
\(\displaystyle{ \|(x,y)\|^2=\sqrt{5x^2-xy+6y^2}\\
\langle(x,y)|(x,y)\rangle=5x^2-xy+6y^2}\)
Z tego równania ustalisz iloczyn skalarny, jako że można z niego odgadnąć macierz powyższej formy kwadratowej będącą jednocześnie macierzą iloczynu skalarnego. Twierdzenie Sylvestera pozwoli na zbadanie określoności formy, czyli również iloczynu.
Dużo powiedziałem. Pilne, nie pilne, samemu też coś zrobić trzeba.
Iloczyn skalarny to dodatnio określony funkcjonał dwuliniowy symetryczny. Na podstawie kwadratu "normy" można odgadnąć postać tego funkcjonału i sprawdzić warunki iloczynu skalarnego. Więc jeśli sprawdzimy te warunki, sprawdzenie warunku równoległoboku nie jest konieczne. Z ogólnej teorii przestrzeni unitarnych otrzymamy, że \(\displaystyle{ \|(x,y)\|=\sqrt{\langle(x,y)|(x,y)\rangle}}\) jest normą.
Mamy więc po podniesieniu do kwadratu:
\(\displaystyle{ \|(x,y)\|^2=\sqrt{5x^2-xy+6y^2}\\
\langle(x,y)|(x,y)\rangle=5x^2-xy+6y^2}\)
Z tego równania ustalisz iloczyn skalarny, jako że można z niego odgadnąć macierz powyższej formy kwadratowej będącą jednocześnie macierzą iloczynu skalarnego. Twierdzenie Sylvestera pozwoli na zbadanie określoności formy, czyli również iloczynu.
Dużo powiedziałem. Pilne, nie pilne, samemu też coś zrobić trzeba.