Ortogonalność macierzy - dowody.

[takitamjeden]

Witam.
Mam problem z następującymi zadaniami. Proszę o weryfikację dotychczasowych obliczeń, oraz o pomoc w 1 zadaniu.

1) Wykaż że macierz A jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A^{T}}\) jest ortogonalna.

Nie mam żadnego sensownego pomysłu na dobranie się do tego.

2) Niech \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) to macierze ortogonalne. Pokaż, że \(\displaystyle{ AB}\) jest także macierzą ortogonalną.

Czy tutaj sprawa wyglądać może tak:

Wiemy że:
1) \(\displaystyle{ A^{T} \cdot A = A \cdot A^{T} = I}\)
2) \(\displaystyle{ (AB)^T = B^T \cdot A^T}\)

zatem:
\(\displaystyle{ (AB) \cdot (AB)^T = A \cdot B \cdot B^T \cdot A^T}\)

Z definicji:
\(\displaystyle{ B \cdot B^T = I}\)

\(\displaystyle{ (AB) \cdot (AB)^T = A \cdot I \cdot A^T = I}\) - co należało udowodnić.

3) Udowodnij, że jeśli macierz \(\displaystyle{ A}\) jest ortogonalna, to \(\displaystyle{ A^{-1} = A^T}\)

Z definicji macierzy jednostkowej:
\(\displaystyle{ I = A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A}\)

Z definicji macierzy ortogonalnej:
\(\displaystyle{ I = A \cdot A^T = A^T \cdot A}\)

A więc:a
\(\displaystyle{ A \cdot A^{-1} = A \cdot A^T}\)
\(\displaystyle{ A^{-1} = A^T}\)- co należało udowodnić.

[JakimPL]

1. \(\displaystyle{ A A^T = I}\)

Wymnóżmy stronami przez \(\displaystyle{ A^{-1}}\) z lewej strony:

\(\displaystyle{ I A^T = A^{-1}}\)

A teraz przez \(\displaystyle{ A}\) z prawej:

\(\displaystyle{ A^T A = A^{-1} = I}\).

Stąd dla \(\displaystyle{ B = A^T}\) otrzymujemy, iż \(\displaystyle{ B B^T=I}\), czyli \(\displaystyle{ B}\) jest ortonormalne. Przejścia były równoważne, zatem mamy tezę.

[takitamjeden]

Dzięki wielkie. a jeżeli chodzi o 2) i 3) ? wystarczają? jutro mam koło, i jest szansa ze takie coś się pojawi...

[JakimPL]

Wygląda ok, nie mam zastrzeżeń.