Operator Liniowy

[dawid92wr]

Dla operatora liniowego \(\displaystyle{ A:R^3 \rightarrow R^3, A(x,y,z)=(-x-2y-z,0,y^2,x-3y+5z)}\) wyznaczyć zbiór tych wartości \(\displaystyle{ b}\) dla których równanie \(\displaystyle{ A(x)=b}\) ma rozwiązanie.

Mógłby ktoś pomóc jak rozwiązać to zadanie?

[TPB]

Wyznacz obraz zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}}\) przez operator \(\displaystyle{ A}\). Wtedy jeżeli wektor \(\displaystyle{ b}\) należy do obrazu, równanie \(\displaystyle{ A(x)=b}\) ma rozwiązanie, w przeciwnym wypadku otrzymujemy równanie sprzeczne.

[dawid92wr]

Wyszedł mi taki wynik: \(\displaystyle{ Im A=lin{(-1,0,0,1);(0,0,1,-1);(0,0,0,4)}\) Dobrze? Jeżeli tak: to wektor \(\displaystyle{ b}\) MUSI być równy któremuś z tych trzech wektorów obrazu, tak? Dobrze zrozumiałem?

[Ein]

Ale coś nie tak jest z definicją operatora \(\displaystyle{ A}\). On działa w przestrzeń \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\). Poza tym nie jest liniowy -- trzecia funkcja współrzędna to \(\displaystyle{ y^2}\).

[dawid92wr]

\(\displaystyle{ R^3 \rightarrow R^4}\) i \(\displaystyle{ y}\) zamiast \(\displaystyle{ y^2}\). W zadaniu jest z \(\displaystyle{ y^2}\), ale ja policzyłem dla y. Czyli dla \(\displaystyle{ y^2}\) operator nie jest liniowy i nie da się policzyć? I prosze jeszcze o odpowiedż do poprzedniego pytania, dzięki.

[Ein]

Dla \(\displaystyle{ y^2}\) operator jest nieliniowy, ale i tak możesz wyznaczyć obraz, tylko że może on nie być podprzestrzenią liniową.

[dawid92wr]

Ale jeżeli jest y to wynik jest taki: \(\displaystyle{ Im A=lin{(-1,0,0,1);(0,0,1,-1);(0,0,0,4)}\) Dobrze? Jeżeli tak: to wektor \(\displaystyle{ b}\) MUSI być równy któremuś z tych trzech wektorów obrazu, tak? Dobrze zrozumiałem?

[Ein]

Ale jeżeli jest y to wynik jest taki: \(\displaystyle{ Im A=lin{(-1,0,0,1);(0,0,1,-1);(0,0,0,4)}\) Dobrze?

Dobrze. Nawiasy w texu zapisujemy jako { i }.

Jeżeli tak: to wektor \(\displaystyle{ b}\) MUSI być równy któremuś z tych trzech wektorów obrazu, tak? Dobrze zrozumiałem?

Nie. Musi być równy kombinacji liniowej tych trzech wektorów, czyli należeć do otoczki liniowej \(\displaystyle{ \text{lin}\{(-1,0,0,1);(0,0,1,-1);(0,0,0,4)\}}\).


Ogólna metoda jest taka, że przekształcasz wektory bazowe przez dane przekształcenie, a potem upraszczasz to, co wyjdzie, by uzyskać układ liniowo niezależny.

[dawid92wr]

A mógłbyś wyjaśnić ostanie zdanie? One tyczy się całego zadania tak? Otoczka liniowa to wektory liniowo niezależne? I jeszcze jedno pytanie już ostanie, czy Z tego zadania da się wyliczyć te b, czy musiałbym mieć jeszcze jakieś dane, jak tak to jakie? Czy odpowiedżią jest tylko to, że musi należeć do otoczki?

[Ein]

Otoczka liniowa to najmniejsza przestrzeń zawierająca dane wektory. Dla wektorów \(\displaystyle{ v_1,\ldots,v_n}\) będzie to zbiór \(\displaystyle{ \text{lin}(v_1,\ldots,v_n)=\left\{\alpha_1 v_1+\ldots+\alpha_n v_n:\ \alpha_1,\ldots,\alpha_n\in\mathbb{F}\rigth\}}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{F}}\) to ciało, nad którym rozpatrujesz przestrzeń (np. \(\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{R}}\) albo \(\displaystyle{ \mathbb{F}=\mathbb{C}}\)).

Dla każdego \(\displaystyle{ b}\), które należy do \(\displaystyle{ \text{Im}(A)}\), i tylko takiego, układ równań \(\displaystyle{ Ax=b}\) ma rozwiązanie. Jeżeli \(\displaystyle{ b\not\in\text{Im}(A)}\), to znaczy, że nie istnieje \(\displaystyle{ x}\) takie, że \(\displaystyle{ Ax=b}\).