Wartości własne

[forget24]

Udowodnić, że każda wartość własna (należąca do liczb rzeczywistych) dowolnej macierzy ortogonalnej to \(\displaystyle{ \pm 1}\).
Z czego należałoby tu skorzystać, jak to pokazać?

[smigol]

Macierz identyfikujemy z przekształceniem liniowym. Jeśli macierzą przekształcenia liniowego \(\displaystyle{ \phi : V_1 \rightarrow V_2}\) w pewnych bazach \(\displaystyle{ \mathcal{A}_1, \ \mathcal{A}_2}\) przestrzeni euklidesowych \(\displaystyle{ V_1, \ V_2}\) (z ich iloczynami skalarnymi) odpowiednio, jest macierz ortogonalna, to przekształcenie to jest izometrią, zatem...

[frej]

Wielomian charakterystyczny jest taki sam dla macierzy podobnych, więc możemy myśleć o macierzy w postaci blokowej. Wystarczy popatrzeć na odpowiedni iloczyn skalarny wiersza/kolumny zawierającej daną wartość własną w iloczynie \(\displaystyle{ A A^{T}=I}\)