dopełnienia ortagonalne podprzestrzeni

[kameleon]

Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ U \cap V=\left\{ 0\right\}}\) oraz \(\displaystyle{ (U+V) \cap W=\left\{ 0\right\}}\), to \(\displaystyle{ U+V+W=U \oplus V \oplus W}\)

Proszę o pomoc z tym dowodem.

[Ein]

Wystarczy pokazać, że wektor zerowy \(\displaystyle{ 0}\) ma jednoznaczne przedstawienie za pomocą wektorów z \(\displaystyle{ U}\), \(\displaystyle{ V}\) i \(\displaystyle{ W}\). Zapiszmy: \(\displaystyle{ 0=u+v+w}\), gdzie \(\displaystyle{ u\in U,v\in V,w\in W}\). Stąd: \(\displaystyle{ w=-u-v}\). \(\displaystyle{ W\cap(U+V)=\{0\}}\), więc \(\displaystyle{ w=0}\). Stąd \(\displaystyle{ -u=v}\). Ale \(\displaystyle{ U\cap V=\{0\}}\), więc \(\displaystyle{ u=v=0}\). Czyli zero ma jednoznaczne przedstawienie.