Wartości własne i odpowiadające im podprzestrzenie wektorów

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
lokifisz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 24 maja 2012, o 12:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław/Kołobrzeg

Wartości własne i odpowiadające im podprzestrzenie wektorów

Post autor: lokifisz »

Znaleźć wartości własne i odpowiadające im podprzestrzenie wektorów własnych poniższych przekształceń liniowych:

\(\displaystyle{ L((x,y,z)) = (2x-y, 0, y+z)}\)

Obliczyłam macierz przekształcenia w bazie standardowej \(\displaystyle{ R^{3}}\):

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-1&0\\0&0&0\\0&1&1\end{array}\right]}\)

Teraz obliczam \(\displaystyle{ det(A-\lambda}\)\(\displaystyle{ I)}\)
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2-\lambda&-1&0\\0&-\lambda&0\\0&1&1-\lambda\end{array}\right| =
-\lambda \left|\begin{array}{ccc}2-\lambda&0\\0&1-\lambda\end{array}\right| = -\lambda((2-\lambda)(1-\lambda))}\)

Z tego wychodzi \(\displaystyle{ \lambda_{1}= 0, \lambda_{2} = 2, \lambda_{3} = 1}\)

\(\displaystyle{ 1^{\circ} \ \lambda_{1} = 0}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-1&0\\0&0&0\\0&1&1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ 2x = y\\
y+z = 0\\
v = t(1,2,-2)\\}\)


\(\displaystyle{ 2^{\circ} \ \lambda_{2} = 2}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&-1&0\\0&-2&0\\0&1&-1\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ y = z\\
v = t(1,0,0) + u(0,1,1)\\}\)


\(\displaystyle{ 3^{\circ} \ \lambda_{3} = 1}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&-1&0\\0&-1&0\\0&1&0\end{array}\right]}\)

\(\displaystyle{ x = y = 0\\
v = t(0,0,1)\\}\)


Bardzo proszę o sprawdzenie poprawności tego rozwiązania. Nie wiem czy dobrze wykonuję kolejne kroki w tego typu zadaniach. Z góry dziękuję za pomoc.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Wartości własne i odpowiadające im podprzestrzenie wektorów

Post autor: »

Sprawdź jeszcze raz rachunki dla \(\displaystyle{ \lambda_2=2}\).

Q.
lokifisz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 24 maja 2012, o 12:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław/Kołobrzeg

Wartości własne i odpowiadające im podprzestrzenie wektorów

Post autor: lokifisz »

Będzie \(\displaystyle{ y=z=0}\), więc wektor będzie postaci \(\displaystyle{ v=t(1,0,0)}\)?
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Wartości własne i odpowiadające im podprzestrzenie wektorów

Post autor: »

Zgadza się, teraz już wszystko jest ok.

Q.
lokifisz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9
Rejestracja: 24 maja 2012, o 12:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław/Kołobrzeg

Wartości własne i odpowiadające im podprzestrzenie wektorów

Post autor: lokifisz »

Wielki dzięki.
Ein
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1358
Rejestracja: 4 lip 2009, o 13:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 222 razy

Wartości własne i odpowiadające im podprzestrzenie wektorów

Post autor: Ein »

lokifisz pisze:Znaleźć wartości własne i odpowiadające im podprzestrzenie wektorów własnych poniższych przekształceń liniowych:

\(\displaystyle{ L((x,y,z)) = (2x-y, 0, y+z)}\)

Obliczyłam macierz przekształcenia w bazie standardowej \(\displaystyle{ R^{3}}\):

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}2&-1&0\\0&0&0\\0&1&1\end{array}\right]}\)

Teraz obliczam \(\displaystyle{ det(A-\lambda}\)\(\displaystyle{ I)}\)
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2-\lambda&-1&0\\0&-\lambda&0\\0&1&1-\lambda\end{array}\right| =
-\lambda \left|\begin{array}{ccc}2-\lambda&0\\0&1-\lambda\end{array}\right| = -\lambda((2-\lambda)(1-\lambda))}\)

Z tego wychodzi \(\displaystyle{ \lambda_{1}= 0, \lambda_{2} = 2, \lambda_{3} = 1}\)
Liczenie wielomianu charakterystycznego nie jest w tym przypadku absolutnie potrzebne. To że \(\displaystyle{ A}\) ma wartości własne \(\displaystyle{ 1}\) i \(\displaystyle{ 2}\), to widać z samej macierzy (wektor \(\displaystyle{ (1,0,0)}\) jest przekształcany na \(\displaystyle{ 2\cdot(1,0,0)}\), a wektor \(\displaystyle{ (0,0,1)}\) na \(\displaystyle{ 1\cdot(0,0,1)}\)). Poza tym macierz ma jeden wiersz zerowy, więc jej rząd wierszowy jest równy co najwyżej 2, a to oznacza, że macierz ta ma niezerowe jądro, czyli \(\displaystyle{ 0}\) jest również jej wartością własną.
ODPOWIEDZ