obraz i jądro

[portumna]

Znaleźć wartości i wektory własne podanych macierzy rzeczywistych:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 4&1&-5\\0&-3&5\\0&0&2\end{bmatrix}}\)

[octahedron]

\(\displaystyle{ \det\begin{bmatrix} 4-\lambda&1&-5\\0&-3-\lambda&5\\0&0&2-\lambda\end{bmatrix}=-(4-\lambda)(3+\lambda)(2-\lambda)=0 \Rightarrow \lambda\in\left\{ -3,2,4\right\}\\
\lambda_1=-3\\
\begin{bmatrix} 4&1&-5\\0&-3&5\\0&0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}=-3\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}\\
\begin{cases} 4u_1+u_2-5u_3=-3u_1\\-3u_2+5u_3=-3u_2\\2u_3=-3u_3\end{cases}\\
\begin{cases} -7u_1=u_2\\0=0\\u_3=0\end{cases}\\
u_{\lambda_1}=C_1\begin{bmatrix}-7\\1\\0\end{bmatrix}\\
\lambda_2=2\\
\begin{bmatrix} 4&1&-5\\0&-3&5\\0&0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}\\
\begin{cases} 4u_1+u_2-5u_3=2u_1\\-3u_2+5u_3=2u_2\\2u_3=2u_3\end{cases}\\
\begin{cases} u_1=2u_3\\u_2=u_3\\0=0\end{cases}\\
u_{\lambda_2}=C_2\begin{bmatrix}2\\1\\1\end{bmatrix}\\
\lambda_3=4\\
\begin{bmatrix} 4&1&-5\\0&-3&5\\0&0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}=4\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}\\
\begin{cases} 4u_1+u_2-5u_3=4u_1\\-3u_2+5u_3=4u_2\\2u_3=4u_3\end{cases}\\
\begin{cases} 0=0\\u_2=0\\u_3=0\end{cases}\\
u_{\lambda_3}=C_3\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}}\)