Baza prostopadła

[forget24]

Mam daną formę dwuliniową, \(\displaystyle{ h((x_1,x_2,x_3),(y_1,y_2,y_3))=x_1y_1+2x_1y_2+2x_2y_1+x_2y_2+x_3y_3}\)
Znaleźć bazę prostopadłą.
Zaczynam tak: szukam nieizotropowego wektora, znajduję taki \(\displaystyle{ [0,0,1]}\) i mam:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}0&0&1\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\2&1&0\\0&0&1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0&0&1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\1\end{array}\right]=1}\)

Tak więc:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}x_1&x_2&x_3\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}1&2&0\\2&1&0\\0&0&1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x_1&x_2&x_3\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}0\\0\\1\end{array}\right]}\)

Stąd wynika, że \(\displaystyle{ x_3=0}\)
Szukam więc wektorów w postaci \(\displaystyle{ [x_1,x_2,0]}\)
Po ponownym wstawieniu do wzoru wychodzi, że \(\displaystyle{ x_1^{2}+x_2^{2}+4x_1x_2 \neq 0}\)
Teraz nie wiem co zrobić - czy mam ,,dopasować te wektory czy jeszcze użyć jakichś operacji do ich bezpośredniego wyznaczenia. Czy do tej pory postępowałem poprawnie?

[JakimPL]

Rachunki są w porządku. Teraz wystarczy znaleźć drugi nieizotropowy wektor, dla którego \(\displaystyle{ x_3=0}\) - takim jest \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\0\end{array}\right]}\), wtedy automatycznie dostaniemy trzeci. Nie trzeba rozwiązywać żadnych układów.

Dla wskazanego przeze mnie wektora wektory ortogonalne spełniają \(\displaystyle{ x_1 + 2 x_2 =0}\). Wszystkie nieizotropowe wektory spełniające oba warunki (tj. \(\displaystyle{ x_1 + 2 x_2 =0 \wedge x_3=0}\)) będą tworzyć wraz z poprzednimi bazę ortogonalną.