wartość własna macierzy

[okaokajoka]

czy w przypadku macierzy poniżej


\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 3&0&0&0\\0&0&1&11\\1&0&0&0\\7&0&1&2\end{bmatrix}}\)


posiadającej zerowy wyznacznik, wartości własne będą to po prostu

\(\displaystyle{ (3-\lambda)(0-\lambda)(0-\lambda)(2-\lambda)=0}\)

czyli \(\displaystyle{ 3, 2, 0}\)

czy jest tutaj jakiś haczyk z tym zerowym wyznacznikiem bo nigdy wcześniej mi taki nie wyszedł czy to jest okej?

[Qń]

Istotnie, wartości własne tej macierzy są takie jak wyznaczyłeś. A wyznacznik macierzy która powstanie po odjęciu lambd na przekątnej to w istocie lewa strona Twojej równości.

Q.

[okaokajoka]

dzięki! nie chcialbym zaśmiecać forum dla każdego pytania z osobna więc zapytam tutaj jeszcze taie szybkie pytanie

mam iloczyn wektorowy \(\displaystyle{ a\times y - y\times b = 0}\)

\(\displaystyle{ a = (1,3,8)}\)
\(\displaystyle{ b = (6,8,0)}\)
\(\displaystyle{ y = (x,y,z)}\)?

i moje pytanie brzmi, czy jak to powymnażam, poodejmuję i przyrównam do zera, wyjdzie mi przykładowo (liczyłem to kiedyś juz i nie pamiętam ale mi to po glowie chodzi) no niech wyjdzie dajmy na to:

\(\displaystyle{ 3x + 5y + 2z =0}\) to mój wektor którego szukam y ma postać
\(\displaystyle{ y=3x,5y,2z}\) czy też same liczby? \(\displaystyle{ y=3,5,2}\) ?

i jeszcze jedno pytanko, co by bylo gdyby po drugiej stronie równania nie było 0 tylko jakaś inna liczba, no np. \(\displaystyle{ a\times y - y\times b = 0}\)
?

[Ein]

czy jest tutaj jakiś haczyk z tym zerowym wyznacznikiem bo nigdy wcześniej mi taki nie wyszedł czy to jest okej?

Jeżeli wyznacznik macierzy jest równy \(\displaystyle{ 0}\), to znaczy, że macierz ta jest nieodwracalna. Tym samym nieodwracalny jest również operator \(\displaystyle{ T}\), który ona wyznacza. Nieodwracalny operator liniowy na skończonej przestrzeni liniowej ma niezerowe jądro, a więc istnieje niezerowy wektor \(\displaystyle{ v}\) taki, że \(\displaystyle{ Tv=0}\), czyli \(\displaystyle{ Tv=0v}\). Zatem \(\displaystyle{ 0}\) jest wartością własną operatora \(\displaystyle{ T}\).

Podsumowując: macierz o wyznaczniku \(\displaystyle{ 0}\) ma wartość własną \(\displaystyle{ 0}\).


EDIT: Powyższe można również wykazać pamiętając, że wyraz wolny wielomianu charakterystycznego jest zawsze równy wyznacznikowi macierzy. Skoro wyznacznik jest zerowy, to znaczy, że wielomian charakterystyczny nie ma wyrazu wolnego, a więc jest postaci: \(\displaystyle{ a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n=x(a_1+a_2x+\ldots+a_nx^{n-1})}\), czyli ma zerowy pierwiastek.

[okaokajoka]

czyli mam coś w końcu liczyć jak mam zerowy wyznacznik czy wystaryczy że na starcie naipszę, że wartość wlasna macierzy = 0 i koniec zadania?

[Ein]

No nie, no jak? Macierz może mieć inne wartości własne niż \(\displaystyle{ 0}\). Ale jeżeli ma wyznacznik zerowy, to na pewno wśród jej wartości własnych jest wartość równa \(\displaystyle{ 0}\). Z drugiej strony jeżeli macierz ma wartość własną \(\displaystyle{ 0}\), to jej wyznacznik też będzie równy \(\displaystyle{ 0}\).

[okaokajoka]

dzięki, a nt drugiego pytania z wektorami? który wektor to będzie , ten z literkami czy same cyferki?