podprzestrzeń przestrzeni wektorowej

[mit92ew]

zad.1. niech \(\displaystyle{ U,V,W}\) beda podprzestrzeniami przestrzeni wektorowej
a) czy jest prawda(i dlaczego) ze: \(\displaystyle{ U \cap \left( V+W\right)=\left( U \cap V\right) \cdot \left( U \cap W\right)}\) ?

b) wykazac ze rownosc jest spelniona jesli \(\displaystyle{ V \subseteq U}\)


zad.2. niech podprzestrzenie \(\displaystyle{ U,V \subseteq R ^{n}}\) beda okreslone ukladami rownan
\(\displaystyle{ x _{1}+x _{n} =0}\)
\(\displaystyle{ x _{2} =x _{3} =...=x _{n} =0}\)

wykazac ze \(\displaystyle{ R ^{n}=U \oplus V}\)

zad.3. wykazac ze nastepujace zbiory wektorow \(\displaystyle{ R ^{n}}\) sa podprzestrzeniami,wyznaczyc baze i wymiar:

a) wektory ktorych wspolrzedne o parzystych indeksach sa rowne

b)wektory postaci \(\displaystyle{ \left( \alpha , \beta , \alpha , \beta ,...\right)}\)